Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{18}}}{x}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} e^{\frac{x}{18}}}{lim_{x \to \infty} x}$

Etapa 1.2

Como o expoente $\frac{x}{18}$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{\frac{x}{18}}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Etapa 1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{18}}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{18}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{18}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{18}$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{18}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{18}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{18}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{18}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{18}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{18}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3

Como $\frac{1}{18}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{18}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{18} \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{18}} (\frac{1}{18} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.4

Combine $\frac{1}{18}$ e $e^{\frac{x}{18}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{\frac{x}{18}}}{18} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{\frac{x}{18}}}{18} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.6

Multiplique $\frac{e^{\frac{x}{18}}}{18}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{\frac{x}{18}}}{18}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{e^{\frac{x}{18}}}{18}}{1}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{18}}}{18} \cdot 1$

Etapa 5

Multiplique $\frac{e^{\frac{x}{18}}}{18}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{\frac{x}{18}}}{18}$

Etapa 6

Como a função $e^{\frac{1}{18} x}$ se aproxima de $\infty$ , a constante positiva $\frac{1}{18}$ vezes a função também se aproxima de $\infty$ .

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Etapa 6.1

Considere o limite com o múltiplo constante $\frac{1}{18}$ removido.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{18} x}$

Etapa 6.2

Como o expoente $\frac{1}{18} x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{\frac{1}{18} x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\infty$