Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \sec^{2} (5 x)}{{(6 x)}^{2}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.1.3

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (5 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1 - {(lim_{x \to 0} \sec (5 x))}^{2}}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.1.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{1 - \sec^{2} (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.1.5

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1 - \sec^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1 - \sec^{2} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Reordene $1$ e $- \sec^{2} (5 \cdot 0)$ .

$\frac{- \sec^{2} (5 \cdot 0) + 1}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.3.2

Fatore $- 1$ de $- \sec^{2} (5 \cdot 0)$ .

$\frac{- (\sec^{2} (5 \cdot 0)) + 1}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.3.3

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- \sec^{2} (5 \cdot 0) - 1 \cdot - 1}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.3.4

Fatore $- 1$ de $- \sec^{2} (5 \cdot 0) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{- (\sec^{2} (5 \cdot 0) - 1)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.3.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{- \tan^{2} (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.3.6

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{- \tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.3.7

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{- 0^{2}}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.3.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{- 0}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.3.9

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} {(6 x)}^{2}}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Mova o expoente $2$ de ${(6 x)}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} 6 x)}^{2}}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{{(6 lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{{(6 \cdot 0)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Multiplique $6$ por $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Etapa 1.3.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \sec^{2} (5 x)}{{(6 x)}^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \sec^{2} (5 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (5 x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sec^{2} (5 x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (5 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\sec^{2} (5 x)]}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (5 x)$ .

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Etapa 3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sec (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) \frac{d}{d x} [\sec (5 x)])}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 3.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x]))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.4.3.2

A derivada de $\sec (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.4.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) (5 \cdot 1)))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.4.6

Multiplique $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x) \cdot 5))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.4.7

Mova $5$ para a esquerda de $\sec (5 x) \tan (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (5 \cdot (\sec (5 x) \tan (5 x))))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.4.8

Remova os parênteses.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (2 \sec (5 x) (5 \sec (5 x) \tan (5 x)))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.4.9

Multiplique $5$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (10 \sec (5 x) (\sec (5 x) \tan (5 x)))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.4.10

Eleve $\sec (5 x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (10 (\sec^{1} (5 x) \sec (5 x)) \tan (5 x))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.4.11

Eleve $\sec (5 x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (10 (\sec^{1} (5 x) \sec^{1} (5 x)) \tan (5 x))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.4.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (10 {\sec (5 x)}^{1 + 1} \tan (5 x))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.4.13

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.4.14

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 10 (\sec^{2} (5 x) \tan (5 x))}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.4.15

Remova os parênteses.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Subtraia $10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 10 \sec^{2} (5 x) \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.5.2

Reescreva $\sec (5 x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} \frac{- 10 {(\frac{1}{\cos (5 x)})}^{2} \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.5.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 10 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.5.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$lim_{x \to 0} \frac{- 10 \frac{1}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.5.5

Combine $- 10$ e $\frac{1}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 10}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.5.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10}{\cos^{2} (5 x)} \tan (5 x)}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.5.7

Reescreva $\tan (5 x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10}{\cos^{2} (5 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.5.8

Multiplique $- \frac{10}{\cos^{2} (5 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

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Etapa 3.5.8.1

Multiplique $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ por $\frac{10}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{\cos (5 x) \cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.5.8.2

Multiplique $\cos (5 x)$ por $\cos^{2} (5 x)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.2.1

Multiplique $\cos (5 x)$ por $\cos^{2} (5 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.8.2.1.1

Eleve $\cos (5 x)$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{\cos^{1} (5 x) \cos^{2} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.5.8.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{{\cos (5 x)}^{1 + 2}}}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.5.8.2.2

Some $1$ e $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\sin (5 x) \cdot 10}{\cos^{3} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.5.9

Mova $10$ para a esquerda de $\sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [{(6 x)}^{2}]}$

Etapa 3.6

Aplique a regra do produto a $6 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [6^{2} x^{2}]}$

Etapa 3.7

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{\frac{d}{d x} [36 x^{2}]}$

Etapa 3.8

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36 x^{2}$ em relação a $x$ é $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{36 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{36 (2 x)}$

Etapa 3.10

Multiplique $2$ por $36$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}}{72 x}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} - \frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)} \cdot \frac{1}{72 x}$

Etapa 5

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{72 x}$ por $\frac{10 \sin (5 x)}{\cos^{3} (5 x)}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{10 \sin (5 x)}{72 x \cos^{3} (5 x)}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $10$ e $72$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $2$ de $10 \sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (5 \sin (5 x))}{72 x \cos^{3} (5 x)}$

Etapa 5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $2$ de $72 x \cos^{3} (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (5 \sin (5 x))}{2 (36 x \cos^{3} (5 x))}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (5 \sin (5 x))}{2 (36 x \cos^{3} (5 x))}$

Etapa 5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} - \frac{5 \sin (5 x)}{36 x \cos^{3} (5 x)}$

Etapa 5.3

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (5 x)}{36 x \cos^{3} (5 x)}$

Etapa 5.4

Mova o termo $\frac{5}{36}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{x \cos^{3} (5 x)}$

Etapa 6

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x \cos^{3} (5 x)}$

Etapa 6.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x \cos^{3} (5 x)}$

Etapa 6.1.2.1.2

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos^{3} (5 x)}$

Etapa 6.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{\sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \cos^{3} (5 x)}$

Etapa 6.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.3.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos^{3} (5 x)}$

Etapa 6.1.2.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos^{3} (5 x)}$

Etapa 6.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Etapa 6.1.3.2

Mova o expoente $3$ de $\cos^{3} (5 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{3}}$

Etapa 6.1.3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Etapa 6.1.3.4

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 6.1.3.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0 \cdot \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 6.1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0 \cdot \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Etapa 6.1.3.6

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.3.6.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0 \cdot \cos^{3} (0)}$

Etapa 6.1.3.6.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0 \cdot 1^{3}}$

Etapa 6.1.3.6.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0 \cdot 1}$

Etapa 6.1.3.6.4

Multiplique $0$ por $1$ .

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 6.1.3.6.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 6.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 6.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{5}{36} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 6.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x)}{x \cos^{3} (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Etapa 6.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Etapa 6.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Etapa 6.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Etapa 6.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Etapa 6.3.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Etapa 6.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Etapa 6.3.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x) \cdot 5}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Etapa 6.3.6

Mova $5$ para a esquerda de $\cos (5 x)$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot \cos (5 x)}{\frac{d}{d x} [x \cos^{3} (5 x)]}$

Etapa 6.3.7

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos^{3} (5 x)$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \frac{d}{d x} [\cos^{3} (5 x)] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \cos (5 x)$ .

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Etapa 6.3.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\cos (5 x)$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot 3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\cos (5 x)$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot 3 \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.9

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 6.3.9.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $5 x$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot 3 \cos^{2} (5 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.9.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot 3 \cos^{2} (5 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.9.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 x$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot 3 \cos^{2} (5 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.10

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 3 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.11

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 3 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.12

Multiplique $5$ por $- 3$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 15 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x] + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 15 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) \cdot 1 + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.14

Multiplique $- 15$ por $1$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 15 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 6.3.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 15 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x) \cdot 1}$

Etapa 6.3.16

Multiplique $\cos^{3} (5 x)$ por $1$ .

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{x \cdot - 15 \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x)}$

Etapa 6.3.17

Reordene os termos.

$- \frac{5}{36} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x)}{- 15 x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x)}$

Etapa 7

Avalie o limite.

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Etapa 7.1

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x)}{- 15 x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x)}$

Etapa 7.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} - 15 x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x)}$

Etapa 7.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} - 15 x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x)}$

Etapa 7.4

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 15 x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + \cos^{3} (5 x)}$

Etapa 7.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} 15 x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Etapa 7.6

Mova o termo $15$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cos^{2} (5 x) \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Etapa 7.7

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos^{2} (5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Etapa 7.8

Mova o expoente $2$ de $\cos^{2} (5 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Etapa 7.9

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0} 5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Etapa 7.10

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Etapa 7.11

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Etapa 7.12

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \cos^{3} (5 x)}$

Etapa 7.13

Mova o expoente $3$ de $\cos^{3} (5 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \cos (5 x))}^{3}}$

Etapa 7.14

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Etapa 7.15

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 8

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 lim_{x \to 0} x \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 8.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x) + \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 8.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 8.5

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$- \frac{5}{36} \cdot 5 \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Multiplique $- \frac{5}{36} \cdot 5$ .

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Etapa 9.1.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$- 5 (\frac{5}{36}) \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Etapa 9.1.2

Combine $- 5$ e $\frac{5}{36}$ .

$\frac{- 5 \cdot 5}{36} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$\frac{- 25}{36} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Etapa 9.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Etapa 9.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.3.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{\cos (0)}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Etapa 9.3.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{- 15 \cdot 0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Etapa 9.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.4.1

Multiplique $- 15$ por $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot \cos^{2} (5 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Etapa 9.4.2

Multiplique $5$ por $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot \cos^{2} (0) \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Etapa 9.4.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot 1^{2} \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Etapa 9.4.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot 1 \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Etapa 9.4.5

Multiplique $0$ por $1$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sin (5 \cdot 0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Etapa 9.4.6

Multiplique $5$ por $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Etapa 9.4.7

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 \cdot 0 + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Etapa 9.4.8

Multiplique $0$ por $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 + \cos^{3} (5 \cdot 0)}$

Etapa 9.4.9

Multiplique $5$ por $0$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 + \cos^{3} (0)}$

Etapa 9.4.10

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 + 1^{3}}$

Etapa 9.4.11

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{0 + 1}$

Etapa 9.4.12

Some $0$ e $1$ .

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{1}$

Etapa 9.5

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 9.5.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{25}{36} \cdot \frac{1}{1}$

Etapa 9.5.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{25}{36} \cdot 1$

Etapa 9.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{25}{36}$