Cálculo Exemplos

$lim_{t \to \infty} \frac{e^{t} + t^{2}}{e^{t} - t}$

Etapa 1

Divida o numerador e o denominador pelo termo de crescimento mais rápido no denominador.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{e^{t}}{e^{t}} + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{\frac{e^{t}}{e^{t}} - \frac{t}{e^{t}}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Cancele o fator comum de $e^{t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{e^{t}}{e^{t}} + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{\frac{e^{t}}{e^{t}} - \frac{t}{e^{t}}}$

Etapa 2.1.2

Reescreva a expressão.

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{\frac{e^{t}}{e^{t}} - \frac{t}{e^{t}}}$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $e^{t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{\frac{e^{t}}{e^{t}} - \frac{t}{e^{t}}}$

Etapa 2.2.2

Reescreva a expressão.

$lim_{t \to \infty} \frac{1 + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 1 + \frac{t^{2}}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} 1 + lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1 + \frac{lim_{t \to \infty} t^{2}}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Etapa 3.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{1 + \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Etapa 3.1.3

Como o expoente $t$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{t}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1 + \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Etapa 3.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{1 + \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Etapa 3.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{t \to \infty} \frac{t^{2}}{e^{t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t^{2}]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ é $a^{t} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1 + lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Etapa 4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$\frac{1 + 2 lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1 + 2 \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Etapa 5.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{1 + 2 \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Etapa 5.1.3

Como o expoente $t$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{t}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Etapa 5.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{1 + 2 \frac{\infty}{\infty}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Etapa 5.2

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1 + 2 lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Etapa 5.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1 + 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Etapa 5.3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ é $a^{t} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1 + 2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{t}}}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Etapa 6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{e^{t}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{lim_{t \to \infty} 1 - \frac{t}{e^{t}}}$

Etapa 7

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{lim_{t \to \infty} 1 - lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t}}}$

Etapa 7.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t}}}$

Etapa 8

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 8.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - \frac{lim_{t \to \infty} t}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}$

Etapa 8.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - \frac{\infty}{lim_{t \to \infty} e^{t}}}$

Etapa 8.1.3

Como o expoente $t$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{t}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - \frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 8.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - \frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 8.2

$lim_{t \to \infty} \frac{t}{e^{t}} = lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}$

Etapa 8.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 8.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - lim_{t \to \infty} \frac{\frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d t} [e^{t}]}}$

Etapa 8.3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ é $a^{t} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - lim_{t \to \infty} \frac{1}{e^{t}}}$

Etapa 9

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{e^{t}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 0}{1 - 0}$

Etapa 10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1 + 0}{1 - 0}$

Etapa 10.1.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{1 - 0}$

Etapa 10.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{1 + 0}$

Etapa 10.2.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{1}$

Etapa 10.3

Divida $1$ por $1$ .

$1$