Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\sin (8 x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

Etapa 1.2

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite de $\arctan (x)$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\arctan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

Etapa 1.2.2

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (8 x)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 8 x)}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{\sin (8 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\sin (8 \cdot 0)}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Multiplique $8$ por $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Etapa 1.3.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\sin (8 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

Etapa 3.2

A derivada de $\arctan (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

Etapa 3.3

Reordene os termos.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [\sin (8 x)]}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 8 x$ .

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Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [8 x]}$

Etapa 3.4.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [8 x]}$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (8 x) \frac{d}{d x} [8 x]}$

Etapa 3.5

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (8 x) (8 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (8 x) (8 \cdot 1)}$

Etapa 3.7

Multiplique $8$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (8 x) \cdot 8}$

Etapa 3.8

Mova $8$ para a esquerda de $\cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{8 \cdot \cos (8 x)}$

Etapa 3.9

Multiplique $8$ por $\cos (8 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{8 \cos (8 x)}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{8 \cos (8 x)}$

Etapa 5

Multiplique $\frac{1}{x^{2} + 1}$ por $\frac{1}{8 \cos (8 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{(x^{2} + 1) (8 \cos (8 x))}$

Etapa 6

Mova o termo $\frac{1}{8}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} \frac{1}{(x^{2} + 1) (\cos (8 x))}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (\cos (8 x))}$

Etapa 8

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (\cos (8 x))}$

Etapa 9

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1 \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

Etapa 10

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{(lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

Etapa 11

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

Etapa 12

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (8 x)}$

Etapa 13

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 8 x)}$

Etapa 14

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 15

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 15.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{(0^{2} + 1) \cdot \cos (8 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 15.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{1}{(0^{2} + 1) \cdot \cos (8 \cdot 0)}$

Etapa 16

Simplifique a resposta.

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Etapa 16.1

Combine.

$\frac{1 \cdot 1}{8 ((0^{2} + 1) \cdot \cos (8 \cdot 0))}$

Etapa 16.2

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1}{8 (0^{2} + 1) \cdot \cos (8 \cdot 0)}$

Etapa 16.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 16.3.1

Multiplique $8$ por $0$ .

$\frac{1}{8 (0^{2} + 1) \cos (0)}$

Etapa 16.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{8 (0 + 1) \cos (0)}$

Etapa 16.3.3

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{8 \cdot 1 \cos (0)}$

Etapa 16.3.4

Multiplique $8$ por $1$ .

$\frac{1}{8 \cos (0)}$

Etapa 16.3.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{8 \cdot 1}$

Etapa 16.4

Multiplique $8$ por $1$ .

$\frac{1}{8}$