Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 9} \frac{1}{\ln (x - 8)} - \frac{1}{x - 9}$

Etapa 1

Combine os termos.

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Etapa 1.1

Para escrever $\frac{1}{\ln (x - 8)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 9}{x - 9}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{\ln (x - 8)} \cdot \frac{x - 9}{x - 9} - \frac{1}{x - 9}$

Etapa 1.2

Para escrever $- \frac{1}{x - 9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\ln (x - 8)}{\ln (x - 8)}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{\ln (x - 8)} \cdot \frac{x - 9}{x - 9} - \frac{1}{x - 9} \cdot \frac{\ln (x - 8)}{\ln (x - 8)}$

Etapa 1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\ln (x - 8) (x - 9)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{1}{\ln (x - 8)}$ por $\frac{x - 9}{x - 9}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{\ln (x - 8) (x - 9)} - \frac{1}{x - 9} \cdot \frac{\ln (x - 8)}{\ln (x - 8)}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\frac{1}{x - 9}$ por $\frac{\ln (x - 8)}{\ln (x - 8)}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{\ln (x - 8) (x - 9)} - \frac{\ln (x - 8)}{(x - 9) \ln (x - 8)}$

Etapa 1.3.3

Reordene os fatores de $(x - 9) \ln (x - 8)$ .

$lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{\ln (x - 8) (x - 9)} - \frac{\ln (x - 8)}{\ln (x - 8) (x - 9)}$

Etapa 1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 9} \frac{x - 9 - \ln (x - 8)}{\ln (x - 8) (x - 9)}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 9} x - 9 - \ln (x - 8)}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 9 - lim_{x \to 9} \ln (x - 8)}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 - lim_{x \to 9} \ln (x - 8)}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Etapa 2.1.2.3

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 - \ln (lim_{x \to 9} x - 8)}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Etapa 2.1.2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 - \ln (lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 8)}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Etapa 2.1.2.5

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 - \ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8)}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Etapa 2.1.2.6

Avalie os limites substituindo $9$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{9 - 1 \cdot 9 - \ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8)}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Etapa 2.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{9 - 1 \cdot 9 - \ln (9 - 1 \cdot 8)}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Etapa 2.1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.7.1.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{9 - 9 - \ln (9 - 1 \cdot 8)}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Etapa 2.1.2.7.1.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{9 - 9 - \ln (9 - 8)}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Etapa 2.1.2.7.1.3

Subtraia $8$ de $9$ .

$\frac{9 - 9 - \ln (1)}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Etapa 2.1.2.7.1.4

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{9 - 9 - 0}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Etapa 2.1.2.7.1.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{9 - 9 + 0}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Etapa 2.1.2.7.2

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Etapa 2.1.2.7.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 9)}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} \ln (x - 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 2.1.3.2

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 9} x - 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 2.1.3.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 2.1.3.4

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 9}$

Etapa 2.1.3.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 9)}$

Etapa 2.1.3.6

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9)}$

Etapa 2.1.3.7

Avalie os limites substituindo $9$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 2.1.3.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{0}{\ln (9 - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9)}$

Etapa 2.1.3.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{0}{\ln (9 - 1 \cdot 8) \cdot (9 - 1 \cdot 9)}$

Etapa 2.1.3.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.8.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{0}{\ln (9 - 8) \cdot (9 - 1 \cdot 9)}$

Etapa 2.1.3.8.2

Subtraia $8$ de $9$ .

$\frac{0}{\ln (1) \cdot (9 - 1 \cdot 9)}$

Etapa 2.1.3.8.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot (9 - 1 \cdot 9)}$

Etapa 2.1.3.8.4

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{0}{0 \cdot (9 - 9)}$

Etapa 2.1.3.8.5

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Etapa 2.1.3.8.6

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.8.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.9

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 9} \frac{x - 9 - \ln (x - 8)}{\ln (x - 8) (x - 9)} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x - 9 - \ln (x - 8)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x - 9 - \ln (x - 8)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 9 - \ln (x - 8)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9] + \frac{d}{d x} [- \ln (x - 8)]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9] + \frac{d}{d x} [- \ln (x - 8)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 9] + \frac{d}{d x} [- \ln (x - 8)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Etapa 2.3.4

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x - 8)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Etapa 2.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- \ln (x - 8)]$ .

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Etapa 2.3.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x - 8)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + 0 - \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Etapa 2.3.5.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x - 8$ .

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Etapa 2.3.5.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + 0 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 8])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Etapa 2.3.5.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 8])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Etapa 2.3.5.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{x - 8} \frac{d}{d x} [x - 8])}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Etapa 2.3.5.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{x - 8} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]))}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Etapa 2.3.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{x - 8} (1 + \frac{d}{d x} [- 8]))}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Etapa 2.3.5.5

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{x - 8} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Etapa 2.3.5.6

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + 0 - (\frac{1}{x - 8} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Etapa 2.3.5.7

Multiplique $\frac{1}{x - 8}$ por $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + 0 - \frac{1}{x - 8}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Etapa 2.3.6

Combine os termos.

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Etapa 2.3.6.1

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 - \frac{1}{x - 8}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Etapa 2.3.6.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{x - 8}{x - 8} - \frac{1}{x - 8}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Etapa 2.3.6.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{x - 8 - 1}{x - 8}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Etapa 2.3.6.4

Subtraia $1$ de $- 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{x - 9}{x - 8}}{\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 9)]}$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \ln (x - 8)$ e $g (x) = x - 9$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{x - 9}{x - 8}}{\ln (x - 8) \frac{d}{d x} [x - 9] + (x - 9) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Etapa 2.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{x - 9}{x - 8}}{\ln (x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x - 9) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Etapa 2.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{x - 9}{x - 8}}{\ln (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + (x - 9) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Etapa 2.3.10

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{x - 9}{x - 8}}{\ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 9) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Etapa 2.3.11

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{x - 9}{x - 8}}{\ln (x - 8) \cdot 1 + (x - 9) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Etapa 2.3.12

Multiplique $\ln (x - 8)$ por $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{x - 9}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Etapa 2.3.13

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x - 8$ .

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Etapa 2.3.13.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{x - 9}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 8])}$

Etapa 2.3.13.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{x - 9}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 8])}$

Etapa 2.3.13.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{x - 9}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) (\frac{1}{x - 8} \frac{d}{d x} [x - 8])}$

Etapa 2.3.14

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{x - 9}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) \frac{1}{x - 8} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])}$

Etapa 2.3.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{x - 9}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) \frac{1}{x - 8} (1 + \frac{d}{d x} [- 8])}$

Etapa 2.3.16

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{x - 9}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) \frac{1}{x - 8} (1 + 0)}$

Etapa 2.3.17

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{x - 9}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) \frac{1}{x - 8} \cdot 1}$

Etapa 2.3.18

Multiplique $x - 9$ por $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{x - 9}{x - 8}}{\ln (x - 8) + (x - 9) \frac{1}{x - 8}}$

Etapa 2.3.19

Reordene os termos.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{x - 9}{x - 8}}{(x - 9) \frac{1}{x - 8} + \ln (x - 8)}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{x - 8} \cdot \frac{1}{(x - 9) \frac{1}{x - 8} + \ln (x - 8)}$

Etapa 2.5

Multiplique $\frac{x - 9}{x - 8}$ por $\frac{1}{(x - 9) \frac{1}{x - 8} + \ln (x - 8)}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{(x - 8) ((x - 9) \frac{1}{x - 8} + \ln (x - 8))}$

Etapa 2.6

Multiplique $x - 9$ por $\frac{1}{x - 8}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{(x - 8) (\frac{x - 9}{x - 8} + \ln (x - 8))}$

Etapa 2.7

Combine os termos.

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Etapa 2.7.1

Para escrever $\ln (x - 8)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 8}{x - 8}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{(x - 8) (\frac{x - 9}{x - 8} + \frac{\ln (x - 8) (x - 8)}{x - 8})}$

Etapa 2.7.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{(x - 8) \frac{x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}{x - 8}}$

Etapa 3

Simplifique o argumento do limite.

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Etapa 3.1

Multiplique $x - 8$ por $\frac{x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}{x - 8}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{\frac{(x - 8) (x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8))}{x - 8}}$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $x - 8$ .

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{\frac{(x - 8) (x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8))}{x - 8}}$

Etapa 3.2.2

Divida $x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)$ por $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 9} x - 9}{lim_{x \to 9} x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 4.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 4.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 9}{lim_{x \to 9} x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}$

Etapa 4.1.2.1.2

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 9} x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}$

Etapa 4.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 9} x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}$

Etapa 4.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to 9} x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}$

Etapa 4.1.2.3.2

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)}$

Etapa 4.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 4.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 9 + lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 8)}$

Etapa 4.1.3.2

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + lim_{x \to 9} \ln (x - 8) (x - 8)}$

Etapa 4.1.3.3

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + lim_{x \to 9} \ln (x - 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 8}$

Etapa 4.1.3.4

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + \ln (lim_{x \to 9} x - 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 8}$

Etapa 4.1.3.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + \ln (lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 8}$

Etapa 4.1.3.6

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + \ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot lim_{x \to 9} x - 8}$

Etapa 4.1.3.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + \ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 8)}$

Etapa 4.1.3.8

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9 + \ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8)}$

Etapa 4.1.3.9

Avalie os limites substituindo $9$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 4.1.3.9.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9 + \ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8)}$

Etapa 4.1.3.9.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9 + \ln (9 - 1 \cdot 8) \cdot (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8)}$

Etapa 4.1.3.9.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9 + \ln (9 - 1 \cdot 8) \cdot (9 - 1 \cdot 8)}$

Etapa 4.1.3.10

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1.3.10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.3.10.1.1

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{0}{9 - 9 + \ln (9 - 1 \cdot 8) \cdot (9 - 1 \cdot 8)}$

Etapa 4.1.3.10.1.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{0}{9 - 9 + \ln (9 - 8) \cdot (9 - 1 \cdot 8)}$

Etapa 4.1.3.10.1.3

Subtraia $8$ de $9$ .

$\frac{0}{9 - 9 + \ln (1) \cdot (9 - 1 \cdot 8)}$

Etapa 4.1.3.10.1.4

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{9 - 9 + 0 \cdot (9 - 1 \cdot 8)}$

Etapa 4.1.3.10.1.5

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{0}{9 - 9 + 0 \cdot (9 - 8)}$

Etapa 4.1.3.10.1.6

Subtraia $8$ de $9$ .

$\frac{0}{9 - 9 + 0 \cdot 1}$

Etapa 4.1.3.10.1.7

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{0}{9 - 9 + 0}$

Etapa 4.1.3.10.2

Subtraia $9$ de $9$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 4.1.3.10.3

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.1.3.10.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.1.3.11

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.2

$lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x - 9]}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x - 9]}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Etapa 4.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Etapa 4.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Etapa 4.3.4

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Etapa 4.3.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)]}$

Etapa 4.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 9 + \ln (x - 8) (x - 8)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9] + \frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 8)]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9] + \frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 8)]}$

Etapa 4.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{1 + \frac{d}{d x} [- 9] + \frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 8)]}$

Etapa 4.3.8

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{1 + 0 + \frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 8)]}$

Etapa 4.3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (x - 8) (x - 8)]$ .

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Etapa 4.3.9.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \ln (x - 8)$ e $g (x) = x - 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 8) \frac{d}{d x} [x - 8] + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Etapa 4.3.9.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Etapa 4.3.9.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 8]) + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Etapa 4.3.9.4

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) \frac{d}{d x} [\ln (x - 8)]}$

Etapa 4.3.9.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x - 8$ .

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Etapa 4.3.9.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 8])}$

Etapa 4.3.9.5.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 8])}$

Etapa 4.3.9.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 8$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} \frac{d}{d x} [x - 8])}$

Etapa 4.3.9.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]))}$

Etapa 4.3.9.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} (1 + \frac{d}{d x} [- 8]))}$

Etapa 4.3.9.8

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 8) (1 + 0) + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} (1 + 0))}$

Etapa 4.3.9.9

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 8) \cdot 1 + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} (1 + 0))}$

Etapa 4.3.9.10

Multiplique $\ln (x - 8)$ por $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 8) + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} (1 + 0))}$

Etapa 4.3.9.11

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 8) + (x - 8) (\frac{1}{x - 8} \cdot 1)}$

Etapa 4.3.9.12

Multiplique $\frac{1}{x - 8}$ por $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{1 + 0 + \ln (x - 8) + (x - 8) \frac{1}{x - 8}}$

Etapa 4.3.10

Simplifique.

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Etapa 4.3.10.1

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{1 + \ln (x - 8) + (x - 8) \frac{1}{x - 8}}$

Etapa 4.3.10.2

Reordene os termos.

$lim_{x \to 9} \frac{1}{(x - 8) \frac{1}{x - 8} + 1 + \ln (x - 8)}$

Etapa 4.3.10.3

Cancele o fator comum de $x - 8$ .

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Etapa 4.3.10.3.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 9} \frac{1}{(x - 8) \frac{1}{x - 8} + 1 + \ln (x - 8)}$

Etapa 4.3.10.3.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 9} \frac{1}{1 + 1 + \ln (x - 8)}$

Etapa 4.3.10.4

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{1}{2 + \ln (x - 8)}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} 1}{lim_{x \to 9} 2 + \ln (x - 8)}$

Etapa 5.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 9} 2 + \ln (x - 8)}$

Etapa 5.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 9} 2 + lim_{x \to 9} \ln (x - 8)}$

Etapa 5.4

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{1}{2 + lim_{x \to 9} \ln (x - 8)}$

Etapa 5.5

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{1}{2 + \ln (lim_{x \to 9} x - 8)}$

Etapa 5.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{1}{2 + \ln (lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 8)}$

Etapa 5.7

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $9$ .

$\frac{1}{2 + \ln (lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 8)}$

Etapa 6

Avalie o limite de $x$ substituindo $9$ por $x$ .

$\frac{1}{2 + \ln (9 - 1 \cdot 8)}$

Etapa 7

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{1}{2 + \ln (9 - 8)}$

Etapa 7.2

Subtraia $8$ de $9$ .

$\frac{1}{2 + \ln (1)}$

Etapa 7.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{1}{2 + 0}$

Etapa 7.4

Some $2$ e $0$ .

$\frac{1}{2}$