Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} {(1 + 2 x)}^{\frac{11}{2 \ln (x)}}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(1 + 2 x)}^{\frac{11}{2 \ln (x)}}$ como $e^{\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{11}{2 \ln (x)}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{11}{2 \ln (x)}})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(1 + 2 x)}^{\frac{11}{2 \ln (x)}})$ movendo $\frac{11}{2 \ln (x)}$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{11}{2 \ln (x)} \ln (1 + 2 x)}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{11}{2 \ln (x)} \ln (1 + 2 x)}$

Etapa 2.2

Combine $\frac{11}{2 \ln (x)}$ e $\ln (1 + 2 x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{11 \ln (1 + 2 x)}{2 \ln (x)}}$

Etapa 2.3

Mova o termo $\frac{11}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{\frac{11}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 2 x)}{\ln (x)}}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{\frac{11}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + 2 x)}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}}$

Etapa 3.1.2

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$e^{\frac{11}{2} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (x)}}$

Etapa 3.1.3

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$e^{\frac{11}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 3.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$e^{\frac{11}{2} \cdot \frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 3.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 2 x)}{\ln (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{\frac{11}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 2 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 + 2 x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 + 2 x$ .

$e^{\frac{11}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Etapa 3.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$e^{\frac{11}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + 2 x$ .

$e^{\frac{11}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [1 + 2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Etapa 3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{\frac{11}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Etapa 3.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{\frac{11}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Etapa 3.3.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{\frac{11}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Etapa 3.3.6

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{11}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 2 x} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Etapa 3.3.7

Combine $2$ e $\frac{1}{1 + 2 x}$ .

$e^{\frac{11}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{1 + 2 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Etapa 3.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{\frac{11}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{1 + 2 x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Etapa 3.3.9

Multiplique $\frac{2}{1 + 2 x}$ por $1$ .

$e^{\frac{11}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{1 + 2 x}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Etapa 3.3.10

Reordene os termos.

$e^{\frac{11}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{2 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}}$

Etapa 3.3.11

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$e^{\frac{11}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{2 x + 1}}{\frac{1}{x}}}$

Etapa 3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e^{\frac{11}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2}{2 x + 1} x}$

Etapa 3.5

Combine $\frac{2}{2 x + 1}$ e $x$ .

$e^{\frac{11}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x + 1}}$

Etapa 4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{\frac{11}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 x + 1}}$

Etapa 5

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x$ .

$e^{\frac{11}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.1.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{11}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Etapa 6.1.2

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{11}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{11}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Etapa 6.2.2

Divida $2$ por $1$ .

$e^{\frac{11}{2} \cdot 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}}$

Etapa 6.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{11}{2} \cdot 2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}}$

Etapa 6.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{11}{2} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}}$

Etapa 6.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{11}{2} \cdot 2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 6.6

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{11}{2} \cdot 2 \frac{1}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 7

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{11}{2} \cdot 2 \frac{1}{2 + 0}}$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.1.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{11}{2} \cdot 2 \frac{1}{2 + 0}}$

Etapa 8.1.2

Reescreva a expressão.

$e^{11 \frac{1}{2 + 0}}$

Etapa 8.2

Some $2$ e $0$ .

$e^{11 (\frac{1}{2})}$

Etapa 8.3

Combine $11$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{11}{2}}$