Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{5 x}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5}}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Etapa 1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Etapa 1.3

Como o expoente $5 x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{5 x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 3.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{5 x} (5 \cdot 1)}$

Etapa 3.6

Multiplique $5$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{5 x} \cdot 5}$

Etapa 3.7

Mova $5$ para a esquerda de $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{5 \cdot e^{5 x}}$

Etapa 3.8

Multiplique $5$ por $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{5 e^{5 x}}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{5 e^{5 x}}$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{e^{5 x}}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Etapa 5.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Etapa 5.1.3

Como o expoente $5 x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{5 x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 5.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Etapa 5.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Etapa 5.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 5.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 5.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 5.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 5.3.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 5.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{5 x} (5 \cdot 1)}$

Etapa 5.3.6

Multiplique $5$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{e^{5 x} \cdot 5}$

Etapa 5.3.7

Mova $5$ para a esquerda de $e^{5 x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{5 e^{5 x}}$

Etapa 6

Mova o termo $\frac{4}{5}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{5 x}}$

Etapa 7

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 7.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 7.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Etapa 7.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Etapa 7.1.3

Como o expoente $5 x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{5 x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 7.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{4}{5} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Etapa 7.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 7.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Etapa 7.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Etapa 7.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 7.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 7.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 7.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 7.3.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{5 x} \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 7.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{5 x} \cdot 5 \cdot 1}$

Etapa 7.3.6

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{e^{5 x} \cdot 5}$

Etapa 7.3.7

Mova $5$ para a esquerda de $e^{5 x}$ .

$\frac{4}{5} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{5 e^{5 x}}$

Etapa 8

Mova o termo $\frac{3}{5}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{5 x}}$

Etapa 9

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 9.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 9.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Etapa 9.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Etapa 9.1.3

Como o expoente $5 x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{5 x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 9.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 9.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Etapa 9.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 9.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Etapa 9.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Etapa 9.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 9.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 9.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 9.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 9.3.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{5 x} \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 9.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{5 x} \cdot 5 \cdot 1}$

Etapa 9.3.6

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{5 x} \cdot 5}$

Etapa 9.3.7

Mova $5$ para a esquerda de $e^{5 x}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{5 e^{5 x}}$

Etapa 10

Mova o termo $\frac{2}{5}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{5 x}}$

Etapa 11

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 11.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Etapa 11.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{5 x}}$

Etapa 11.1.3

Como o expoente $5 x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{5 x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 11.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 11.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{5 x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Etapa 11.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 11.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{5 x}]}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 11.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 11.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 11.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]}$

Etapa 11.3.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{5 x} \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 11.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{5 x} \cdot 5 \cdot 1}$

Etapa 11.3.6

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{5 x} \cdot 5}$

Etapa 11.3.7

Mova $5$ para a esquerda de $e^{5 x}$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{5 e^{5 x}}$

Etapa 12

Mova o termo $\frac{1}{5}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} \frac{1}{5} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{5 x}}$

Etapa 13

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{e^{5 x}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} \frac{2}{5} \frac{1}{5} \cdot 0$

Etapa 14

Simplifique a resposta.

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Etapa 14.1

Multiplique $\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5}$ .

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Etapa 14.1.1

Multiplique $\frac{4}{5}$ por $\frac{3}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 5} \cdot \frac{2}{5} \frac{1}{5} \cdot 0$

Etapa 14.1.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{12}{5 \cdot 5} \cdot \frac{2}{5} \frac{1}{5} \cdot 0$

Etapa 14.1.3

Multiplique $5$ por $5$ .

$\frac{12}{25} \cdot \frac{2}{5} \frac{1}{5} \cdot 0$

Etapa 14.2

Multiplique $\frac{12}{25} \cdot \frac{2}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Multiplique $\frac{12}{25}$ por $\frac{2}{5}$ .

$\frac{12 \cdot 2}{25 \cdot 5} \cdot \frac{1}{5} \cdot 0$

Etapa 14.2.2

Multiplique $12$ por $2$ .

$\frac{24}{25 \cdot 5} \cdot \frac{1}{5} \cdot 0$

Etapa 14.2.3

Multiplique $25$ por $5$ .

$\frac{24}{125} \cdot \frac{1}{5} \cdot 0$

Etapa 14.3

Multiplique $\frac{24}{125} \cdot \frac{1}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Multiplique $\frac{24}{125}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{24}{125 \cdot 5} \cdot 0$

Etapa 14.3.2

Multiplique $125$ por $5$ .

$\frac{24}{625} \cdot 0$

Etapa 14.4

Multiplique $\frac{24}{625}$ por $0$ .

$0$