Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \sin (5 x)}{x^{2}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.2.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.2.5

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.2.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.7.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{\sin (0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.2.7.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0 \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.2.7.3

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{0 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.2.7.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.2.7.5

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Etapa 1.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \sin (5 x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (3 x)$ e $g (x) = \sin (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.4

Remova os parênteses.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.7

Multiplique $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.8

Mova $5$ para a esquerda de $\sin (3 x) \cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot (\sin (3 x) \cos (5 x)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.9

Remova os parênteses.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.10

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.10.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.10.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.10.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.11

Remova os parênteses.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.12

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.14

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.15

Mova $3$ para a esquerda de $\sin (5 x) \cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + 3 \cdot (\sin (5 x) \cos (3 x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.16

Remova os parênteses.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (3 x) \cos (5 x) + 3 \sin (5 x) \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.17

Reordene os termos.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 3.18

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{2 x}$

Etapa 4

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{x}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 5.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.2

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 lim_{x \to 0} \cos (5 x) \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.3

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 lim_{x \to 0} \cos (5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (lim_{x \to 0} 5 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.5

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 3 x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.7

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.8

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.9

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.10

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.11

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.12

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.13

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.14

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.14.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 lim_{x \to 0} x) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.14.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.14.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.14.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (5 \cdot 0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.15

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1.2.15.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.2.15.1.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cos (0) \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.15.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cdot 1 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.15.1.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cdot \sin (3 \cdot 0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.15.1.4

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cdot \sin (0) + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.15.1.5

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 \cdot 0 + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.15.1.6

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cos (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.15.1.7

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cos (0) \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.15.1.8

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cdot 1 \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.15.1.9

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cdot \sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.15.1.10

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.15.1.11

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.15.1.12

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.2.15.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 5.1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 5.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 \cos (5 x) \sin (3 x) + 3 \cos (3 x) \sin (5 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 \cos (5 x) \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \cos (5 x) \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 \cos (5 x) \sin (3 x)]$ .

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Etapa 5.3.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 \cos (5 x) \sin (3 x)$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\cos (5 x) \sin (3 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [\cos (5 x) \sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (5 x)$ e $g (x) = \sin (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 5.3.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3.3.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (5 x)]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 5.3.3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $5 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3.6.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3.7

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3.9

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cos (3 x) \cdot 3 + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3.10

Mova $3$ para a esquerda de $\cos (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (5 x) \cdot 3 \cdot \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3.11

Mova $3$ para a esquerda de $\cos (5 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cdot \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3.12

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 1 \sin (5 x) \cdot 5) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.3.13

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + \frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \cos (3 x) \sin (5 x)]$ .

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Etapa 5.3.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \cos (3 x) \sin (5 x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (5 x)]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (3 x) \sin (5 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.4.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (3 x)$ e $g (x) = \sin (5 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 5 x$ .

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Etapa 5.3.4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $5 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.4.3.2

A derivada de $\sin (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\cos (u_{3})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $5 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.4.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \frac{d}{d x} [x] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.4.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 5.3.4.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{4}$ como $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.4.6.2

A derivada de $\cos (u_{4})$ em relação a $u_{4}$ é $- \sin (u_{4})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.4.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{4}$ por $3 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.4.7

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.4.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 \cdot 1 + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.4.9

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.4.10

Mova $5$ para a esquerda de $\cos (5 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (\cos (3 x) \cdot 5 \cdot \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.4.11

Mova $5$ para a esquerda de $\cos (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (5 \cdot \cos (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.4.12

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (5 \cos (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 1 \sin (3 x) \cdot 3)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.4.13

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 (3 \cos (5 x) \cos (3 x) + \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x)) + 3 (5 \cos (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.5

Simplifique.

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Etapa 5.3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot 3 \cos (5 x) \cos (3 x) + 5 \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x) + 3 (5 \cos (3 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{5 \cdot 3 \cos (5 x) \cos (3 x) + 5 \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x) + 3 \cdot 5 \cos (3 x) \cos (5 x) + 3 \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.5.3

Combine os termos.

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Etapa 5.3.5.3.1

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{15 \cos (5 x) \cos (3 x) + 5 \sin (3 x) \cdot - 5 \sin (5 x) + 3 \cdot 5 \cos (3 x) \cos (5 x) + 3 \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.5.3.2

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{15 \cos (5 x) \cos (3 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) + 3 \cdot 5 \cos (3 x) \cos (5 x) + 3 \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.5.3.3

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{15 \cos (5 x) \cos (3 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) + 15 \cos (3 x) \cos (5 x) + 3 \sin (5 x) \cdot - 3 \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.5.3.4

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{15 \cos (5 x) \cos (3 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) + 15 \cos (3 x) \cos (5 x) - 9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.5.3.5

Reordene os fatores de $15 \cos (5 x) \cos (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{15 \cos (3 x) \cos (5 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) + 15 \cos (3 x) \cos (5 x) - 9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.5.3.6

Some $15 \cos (3 x) \cos (5 x)$ e $15 \cos (3 x) \cos (5 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) - 9 \sin (5 x) \sin (3 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.5.3.7

Reordene os fatores de $- 9 \sin (5 x) \sin (3 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 25 \sin (3 x) \sin (5 x) - 9 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.5.3.8

Subtraia $9 \sin (3 x) \sin (5 x)$ de $- 25 \sin (3 x) \sin (5 x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 34 \sin (3 x) \sin (5 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 5.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 34 \sin (3 x) \sin (5 x)}{1}$

Etapa 5.4

Divida $30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 34 \sin (3 x) \sin (5 x)$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} 30 \cos (3 x) \cos (5 x) - 34 \sin (3 x) \sin (5 x)$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to 0} 30 \cos (3 x) \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

Etapa 6.2

Mova o termo $30$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} (30 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

Etapa 6.3

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} (30 lim_{x \to 0} \cos (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

Etapa 6.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{2} (30 \cos (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

Etapa 6.5

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

Etapa 6.6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 5 x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

Etapa 6.7

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 34 \sin (3 x) \sin (5 x))$

Etapa 6.8

Mova o termo $34$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 lim_{x \to 0} \sin (3 x) \sin (5 x))$

Etapa 6.9

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 lim_{x \to 0} \sin (3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x))$

Etapa 6.10

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 \sin (lim_{x \to 0} 3 x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x))$

Etapa 6.11

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (5 x))$

Etapa 6.12

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} 5 x))$

Etapa 6.13

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x))$

Etapa 7

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 lim_{x \to 0} x) - 34 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x))$

Etapa 7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x))$

Etapa 7.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 lim_{x \to 0} x))$

Etapa 7.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (3 \cdot 0) \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (30 \cos (0) \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Etapa 8.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2} (30 \cdot 1 \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Etapa 8.1.3

Multiplique $30$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (30 \cdot \cos (5 \cdot 0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Etapa 8.1.4

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (30 \cdot \cos (0) - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Etapa 8.1.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2} (30 \cdot 1 - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Etapa 8.1.6

Multiplique $30$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (30 - 34 \sin (3 \cdot 0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Etapa 8.1.7

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (30 - 34 \sin (0) \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Etapa 8.1.8

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} (30 - 34 \cdot 0 \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Etapa 8.1.9

Multiplique $- 34$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (30 + 0 \cdot \sin (5 \cdot 0))$

Etapa 8.1.10

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (30 + 0 \cdot \sin (0))$

Etapa 8.1.11

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} (30 + 0 \cdot 0)$

Etapa 8.1.12

Multiplique $0$ por $0$ .

$\frac{1}{2} (30 + 0)$

Etapa 8.2

Some $30$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 30$

Etapa 8.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Fatore $2$ de $30$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (15))$

Etapa 8.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 15)$

Etapa 8.3.3

Reescreva a expressão.

$15$