Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{x - \frac{π}{4}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Etapa 1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Etapa 1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Etapa 1.2.4

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{4}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Etapa 1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Etapa 1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.5.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Etapa 1.2.5.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Etapa 1.2.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Etapa 1.2.5.3

Subtraia $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Etapa 1.2.5.4

Divida $0$ por $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{π}{4}}$

Etapa 1.3.1.2

Avalie o limite de $\frac{π}{4}$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x - \frac{π}{4}}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\frac{0}{\frac{π}{4} - \frac{π}{4}}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{0}{\frac{π - π}{4}}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $π$ de $π$ .

$\frac{0}{\frac{0}{4}}$

Etapa 1.3.3.3

Divida $0$ por $4$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{x - \frac{π}{4}} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Etapa 3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Etapa 3.4.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Etapa 3.4.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}]}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \frac{π}{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]}$

Etapa 3.7

Como $- \frac{π}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{π}{4}$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{1 + 0}$

Etapa 3.8

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{1}$

Etapa 4

Divida $\cos (x) + \sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x)$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)$

Etapa 6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)$

Etapa 7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Etapa 8

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{4}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\cos (\frac{π}{4}) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Etapa 8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})$

Etapa 9.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 9.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

Etapa 9.3

Some $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 9.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 9.4.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\sqrt{2}$

Forma decimal:

$1.41421356 \dots$