Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 - \cos (4 x)}{x^{3}}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} 1 - \cos (4 x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} 1 - lim_{x \to 0^{+}} \cos (4 x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Etapa 1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0^{+}} \cos (4 x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Etapa 1.2.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0^{+}} 4 x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Etapa 1.2.1.4

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1 - \cos (4 lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1 - \cos (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.3.1.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Etapa 1.2.3.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Etapa 1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x^{3}}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{3}}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Etapa 1.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 - \cos (4 x)}{x^{3}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (4 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (4 x)]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (4 x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.4.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{0 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{0 - (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.4.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{0 - (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{0 - (- \sin (4 x) (4 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.4.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{0 - (- \sin (4 x) \cdot 4)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.4.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{0 - (- 4 \sin (4 x))}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.4.7

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{0 + 4 \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.5

Some $0$ e $4 \sin (4 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{4 \sin (4 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{4 \sin (4 x)}{3 x^{2}}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} 4 \sin (4 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x^{2}}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 4.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 4.1.2.1.1

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 0^{+}} \sin (4 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{4 \sin (lim_{x \to 0^{+}} 4 x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 \sin (4 lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x^{2}}$

Etapa 4.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{4 \sin (4 \cdot 0)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x^{2}}$

Etapa 4.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{4 \sin (0)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x^{2}}$

Etapa 4.1.2.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x^{2}}$

Etapa 4.1.2.3.3

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x^{2}}$

Etapa 4.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 4.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 4.1.3.1.1

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}$

Etapa 4.1.3.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0^{2}}$

Etapa 4.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1.3.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{3 \cdot 0}$

Etapa 4.1.3.3.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{4 \sin (4 x)}{3 x^{2}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [4 \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [4 \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Etapa 4.3.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \sin (4 x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{4 \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Etapa 4.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 4.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Etapa 4.3.3.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Etapa 4.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{4 (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Etapa 4.3.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{4 \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Etapa 4.3.5

Multiplique $4$ por $4$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{16 \cos (4 x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Etapa 4.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{16 \cos (4 x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Etapa 4.3.7

Multiplique $16$ por $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{16 \cos (4 x)}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Etapa 4.3.8

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{16 \cos (4 x)}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 4.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{16 \cos (4 x)}{3 (2 x)}$

Etapa 4.3.10

Multiplique $2$ por $3$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{16 \cos (4 x)}{6 x}$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $16$ e $6$ .

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Etapa 4.4.1

Fatore $2$ de $16 \cos (4 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (8 \cos (4 x))}{6 x}$

Etapa 4.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.4.2.1

Fatore $2$ de $6 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (8 \cos (4 x))}{2 (3 x)}$

Etapa 4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (8 \cos (4 x))}{2 (3 x)}$

Etapa 4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{8 \cos (4 x)}{3 x}$

Etapa 5

Como o numerador é positivo e o denominador $3 x$ se aproxima de zero e é maior do que zero para $x$ próximo a $0$ à direita, a função aumenta sem limite.

$\infty$