Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} \ln (x)}{x^{2} - 1}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.3

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 1} x} \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.4

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{1} \cdot \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{1} \cdot \ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.5.1

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1 \cdot \ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.5.2

Multiplique $\ln (1)$ por $1$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.5.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 1.3.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x} \ln (x)}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.4

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.5

Combine $x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.6

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.7

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.7.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.7.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.7.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.7.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.7.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.7.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.9

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.10

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.12.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.12.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.14

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.15

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.16

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.17

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.18

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.19

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 0}$

Etapa 3.20

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 4

Converta expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 4.1

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x}$

Etapa 4.2

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{2 x}$

Etapa 5

Combine os termos.

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Etapa 5.1

Para escrever $\frac{1}{\sqrt{x}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{2 x}$

Etapa 5.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\sqrt{x} \cdot 2$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.2.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{x}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{\sqrt{x} \cdot 2} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{2 x}$

Etapa 5.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{2 \sqrt{x}} + \frac{\ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{2 x}$

Etapa 5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 + \ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{2 x}$

Etapa 6

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 + \ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{x}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} \frac{2 + \ln (x)}{2 \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 8

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{2 + \ln (x)}{\sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 9

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 2 + \ln (x)}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 10

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 2 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 11

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 12

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 13

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 14

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 14.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (1)}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 14.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (1)}{\sqrt{1}}}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 14.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (1)}{\sqrt{1}}}{1}$

Etapa 15

Simplifique a resposta.

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Etapa 15.1

Divida $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (1)}{\sqrt{1}}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + \ln (1)}{\sqrt{1}})$

Etapa 15.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.2.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 0}{\sqrt{1}})$

Etapa 15.2.2

Some $2$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{1}})$

Etapa 15.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1})$

Etapa 15.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1})$

Etapa 15.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 15.5

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$