Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 4 x + 7}{x - 6}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 4 x + 7}{lim_{x \to \infty} x - 6}$

Etapa 1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x - 6}$

Etapa 1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + 4 x + 7}{x - 6} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 7]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 7]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4 x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [7]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4 + \frac{d}{d x} [7]}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 3.5

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 3.6

Some $2 x + 4$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x - 6]}$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4}{1 + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Etapa 3.9

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4}{1 + 0}$

Etapa 3.10

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 4}{1}$

Etapa 4

Divida $2 x + 4$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} 2 x + 4$

Etapa 5

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\infty$