Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x}}{\tan^{2} (x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} e^{x}}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Etapa 1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Etapa 1.2.3

Mova o limite para o expoente.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Etapa 1.2.4

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Etapa 1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0^{2} \cdot e^{0}}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Etapa 1.2.5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0 \cdot e^{0}}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Etapa 1.2.5.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Etapa 1.2.5.3

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Mova o expoente $2$ de $\tan^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2}}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{0}{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\tan^{2} (0)}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Etapa 1.3.3.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x}}{\tan^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Reordene os termos.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Etapa 3.5.2

Reordene os fatores em $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}}{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

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Etapa 3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}}{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}}{2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}}{2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 3.7

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}}{2 \tan (x) \sec^{2} (x)}$

Etapa 3.8

Reordene os fatores de $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}}{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Etapa 4

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}}{\sec^{2} (x) \tan (x)}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Etapa 5.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 5.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{2} e^{x} + lim_{x \to 0} 2 x e^{x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Etapa 5.1.2.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 2 x e^{x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Etapa 5.1.2.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 2 x e^{x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Etapa 5.1.2.4

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 2 x e^{x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Etapa 5.1.2.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 lim_{x \to 0} x e^{x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Etapa 5.1.2.6

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Etapa 5.1.2.7

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Etapa 5.1.2.8

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1.2.8.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Etapa 5.1.2.8.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} \cdot e^{0} + 2 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Etapa 5.1.2.8.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} \cdot e^{0} + 2 \cdot 0 \cdot e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Etapa 5.1.2.8.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} \cdot e^{0} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Etapa 5.1.2.9

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1.2.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.2.9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot e^{0} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Etapa 5.1.2.9.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \cdot e^{0}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Etapa 5.1.2.9.1.3

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 2 \cdot 0 \cdot e^{0}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Etapa 5.1.2.9.1.4

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 \cdot e^{0}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Etapa 5.1.2.9.1.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Etapa 5.1.2.9.1.6

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Etapa 5.1.2.9.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Etapa 5.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 5.1.3.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 5.1.3.2

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 5.1.3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 5.1.3.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5.1.3.5

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 5.1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5.1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\sec^{2} (0) \cdot \tan (0)}$

Etapa 5.1.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1.3.6.1

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{1^{2} \cdot \tan (0)}$

Etapa 5.1.3.6.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{1 \cdot \tan (0)}$

Etapa 5.1.3.6.3

Multiplique $\tan (0)$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\tan (0)}$

Etapa 5.1.3.6.4

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 5.1.3.6.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 5.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 5.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Etapa 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}}{\sec^{2} (x) \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Etapa 5.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Etapa 5.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

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Etapa 5.3.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Etapa 5.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Etapa 5.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Etapa 5.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

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Etapa 5.3.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x e^{x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Etapa 5.3.4.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot 2 x + 2 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Etapa 5.3.4.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot 2 x + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Etapa 5.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot 2 x + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Etapa 5.3.4.5

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot 2 x + 2 (x e^{x} + e^{x})}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Etapa 5.3.5

Simplifique.

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Etapa 5.3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + e^{x} \cdot 2 x + 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Etapa 5.3.5.2

Some $e^{x} (2 x)$ e $2 x e^{x}$ .

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Etapa 5.3.5.2.1

Mova $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Etapa 5.3.5.2.2

Some $2 x e^{x}$ e $2 x e^{x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Etapa 5.3.5.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Etapa 5.3.5.4

Reordene os fatores em $e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]}$

Etapa 5.3.6

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sec^{2} (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}$

Etapa 5.3.7

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}$

Etapa 5.3.8

Multiplique $\sec^{2} (x)$ por $\sec^{2} (x)$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.8.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{{\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}$

Etapa 5.3.8.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}$

Etapa 5.3.9

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

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Etapa 5.3.9.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + \tan (x) \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Etapa 5.3.9.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Etapa 5.3.9.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Etapa 5.3.10

Mova $2$ para a esquerda de $\tan (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + 2 \cdot \tan (x) \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Etapa 5.3.11

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + 2 \tan (x) \sec (x) \sec (x) \tan (x)}$

Etapa 5.3.12

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) \sec (x)}$

Etapa 5.3.13

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) \sec (x)}$

Etapa 5.3.14

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + 2 {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) \sec (x)}$

Etapa 5.3.15

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec (x) \sec (x)}$

Etapa 5.3.16

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{1} (x) \sec (x)}$

Etapa 5.3.17

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{1} (x) \sec^{1} (x)}$

Etapa 5.3.18

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) {\sec (x)}^{1 + 1}}$

Etapa 5.3.19

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{\sec^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) \sec^{2} (x)}$

Etapa 5.3.20

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}}{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Etapa 6.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{2} e^{x} + lim_{x \to 0} 4 x e^{x} + lim_{x \to 0} 2 e^{x}}{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Etapa 6.3

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x^{2} \cdot lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 4 x e^{x} + lim_{x \to 0} 2 e^{x}}{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Etapa 6.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 4 x e^{x} + lim_{x \to 0} 2 e^{x}}{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Etapa 6.5

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 4 x e^{x} + lim_{x \to 0} 2 e^{x}}{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Etapa 6.6

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 4 lim_{x \to 0} x e^{x} + lim_{x \to 0} 2 e^{x}}{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Etapa 6.7

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 4 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} e^{x} + lim_{x \to 0} 2 e^{x}}{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Etapa 6.8

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 4 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 2 e^{x}}{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Etapa 6.9

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 4 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Etapa 6.10

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 4 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + \sec^{4} (x)}$

Etapa 6.11

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

Etapa 6.12

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 4 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} x}}{2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}$

Etapa 6.13

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 4 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} x}}{2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}$

Etapa 6.14

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 4 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} x}}{2 {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}$

Etapa 6.15

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 4 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} x}}{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}$

Etapa 6.16

Mova o expoente $2$ de $\tan^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 4 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} x}}{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2} + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}$

Etapa 6.17

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 4 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} x}}{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sec^{4} (x)}$

Etapa 6.18

Mova o expoente $4$ de $\sec^{4} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

Etapa 6.19

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

Etapa 7

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 4 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} x}}{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} \cdot e^{0} + 4 lim_{x \to 0} x \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} x}}{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 7.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} \cdot e^{0} + 4 \cdot 0 \cdot e^{lim_{x \to 0} x} + 2 e^{lim_{x \to 0} x}}{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 7.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} \cdot e^{0} + 4 \cdot 0 \cdot e^{0} + 2 e^{lim_{x \to 0} x}}{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 7.5

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} \cdot e^{0} + 4 \cdot 0 \cdot e^{0} + 2 e^{0}}{2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 7.6

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} \cdot e^{0} + 4 \cdot 0 \cdot e^{0} + 2 e^{0}}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (lim_{x \to 0} x) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 7.7

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} \cdot e^{0} + 4 \cdot 0 \cdot e^{0} + 2 e^{0}}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 7.8

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0^{2} \cdot e^{0} + 4 \cdot 0 \cdot e^{0} + 2 e^{0}}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot e^{0} + 4 \cdot 0 \cdot e^{0} + 2 e^{0}}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Etapa 8.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 \cdot 1 + 4 \cdot 0 \cdot e^{0} + 2 e^{0}}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Etapa 8.1.3

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 4 \cdot 0 \cdot e^{0} + 2 e^{0}}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Etapa 8.1.4

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 \cdot e^{0} + 2 e^{0}}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Etapa 8.1.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{0}}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Etapa 8.1.6

Multiplique $0$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 + 2 e^{0}}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Etapa 8.1.7

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 + 2 \cdot 1}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Etapa 8.1.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 0 + 2}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Etapa 8.1.9

Some $0$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0 + 2}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Etapa 8.1.10

Some $0$ e $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2 \sec^{2} (0) \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Etapa 8.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.2.1

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2 \cdot 1^{2} \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Etapa 8.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2 \cdot 1 \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Etapa 8.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2 \cdot \tan^{2} (0) + \sec^{4} (0)}$

Etapa 8.2.4

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2 \cdot 0^{2} + \sec^{4} (0)}$

Etapa 8.2.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2 \cdot 0 + \sec^{4} (0)}$

Etapa 8.2.6

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{0 + \sec^{4} (0)}$

Etapa 8.2.7

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{0 + 1^{4}}$

Etapa 8.2.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{0 + 1}$

Etapa 8.2.9

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1}$

Etapa 8.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1}$

Etapa 8.3.2

Reescreva a expressão.

$1$