Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x^{2})}{\sin (2 x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x^{2})}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\tan ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\tan (0^{2})}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 1.2.3.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Etapa 1.3.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x^{2})}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x^{2}) (2 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Reordene os fatores de $\sec^{2} (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \sec^{2} (x^{2})}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.4.2

Reescreva $\sec (x^{2})$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x {(\frac{1}{\cos (x^{2})})}^{2}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.4.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x^{2})}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.4.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \frac{1}{\cos^{2} (x^{2})}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.4.5

Multiplique $2 x \frac{1}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

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Etapa 3.4.5.1

Combine $2$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \frac{2}{\cos^{2} (x^{2})}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.4.5.2

Combine $x$ e $\frac{2}{\cos^{2} (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{x \cdot 2}{\cos^{2} (x^{2})}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.4.6

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 3.5.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Etapa 3.6

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

Etapa 3.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Etapa 3.9

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{2 \cdot \cos (2 x)}$

Etapa 3.10

Multiplique $2$ por $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}}{2 \cos (2 x)}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})} \cdot \frac{1}{2 \cos (2 x)}$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2})}$ por $\frac{1}{2 \cos (2 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2}) (2 \cos (2 x))}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\cos^{2} (x^{2}) (2 \cos (2 x))}$

Etapa 5.2.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\cos^{2} (x^{2}) (\cos (2 x))}$

Etapa 6

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x^{2}) (\cos (2 x))}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \cos^{2} (x^{2}) \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Etapa 8

Mova o expoente $2$ de $\cos^{2} (x^{2})$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{{(lim_{x \to 0} \cos (x^{2}))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Etapa 9

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{\cos^{2} (lim_{x \to 0} x^{2}) \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Etapa 10

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{\cos^{2} ({(lim_{x \to 0} x)}^{2}) \cdot lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Etapa 11

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{\cos^{2} ({(lim_{x \to 0} x)}^{2}) \cdot \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Etapa 12

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x}{\cos^{2} ({(lim_{x \to 0} x)}^{2}) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 13

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 13.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\cos^{2} ({(lim_{x \to 0} x)}^{2}) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 13.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\cos^{2} (0^{2}) \cdot \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 13.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\cos^{2} (0^{2}) \cdot \cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 14

Simplifique a resposta.

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Etapa 14.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{0}{\cos^{2} (0^{2}) \cdot 1 \cdot \cos (2 \cdot 0)}$

Etapa 14.2

Separe as frações.

$\frac{0}{1 \cdot \cos (2 \cdot 0)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (0^{2})}$

Etapa 14.3

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (0^{2})}$ em $\sec^{2} (0^{2})$ .

$\frac{0}{1 \cdot \cos (2 \cdot 0)} \sec^{2} (0^{2})$

Etapa 14.4

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{1 \cdot \cos (0)} \sec^{2} (0^{2})$

Etapa 14.5

Multiplique $\cos (0)$ por $1$ .

$\frac{0}{\cos (0)} \sec^{2} (0^{2})$

Etapa 14.6

Separe as frações.

$\frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (0)} \sec^{2} (0^{2})$

Etapa 14.7

Converta de $\frac{1}{\cos (0)}$ em $\sec (0)$ .

$\frac{0}{1} \sec (0) \sec^{2} (0^{2})$

Etapa 14.8

Divida $0$ por $1$ .

$0 \sec (0) \sec^{2} (0^{2})$

Etapa 14.9

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$0 \cdot 1 \sec^{2} (0^{2})$

Etapa 14.10

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 \sec^{2} (0^{2})$

Etapa 14.11

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 \sec^{2} (0)$

Etapa 14.12

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$0 \cdot 1^{2}$

Etapa 14.13

Um elevado a qualquer potência é um.

$0 \cdot 1$

Etapa 14.14

Multiplique $0$ por $1$ .

$0$