Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} {(17 x)}^{\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(17 x)}^{\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}}$ como $e^{\ln ({(17 x)}^{\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(17 x)}^{\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(17 x)}^{\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}})$ movendo $\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1} \ln (17 x)}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1} \ln (17 x)}$

Etapa 2.2

Combine $\frac{\ln (6) + 1}{\ln (4 x) + 1}$ e $\ln (17 x)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{(\ln (6) + 1) \ln (17 x)}{\ln (4 x) + 1}}$

Etapa 2.3

Mova o termo $\ln (6) + 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\ln (17 x)}{\ln (4 x) + 1}}$

Etapa 3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{lim_{x \to \infty} \ln (17 x)}{lim_{x \to \infty} \ln (4 x) + 1}}$

Etapa 3.1.2

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (4 x) + 1}}$

Etapa 3.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (4 x) + lim_{x \to \infty} 1}}$

Etapa 3.1.3.2

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}}$

Etapa 3.1.3.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{\infty + 1}}$

Etapa 3.1.3.4

Infinito mais ou menos um número é infinito.

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 3.1.3.5

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 3.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$e^{(\ln (6) + 1) \frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 3.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (17 x)}{\ln (4 x) + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (17 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}$

Etapa 3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (17 x)]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 17 x$ .

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Etapa 3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $17 x$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [17 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Etapa 3.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [17 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Etapa 3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $17 x$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{17 x} \frac{d}{d x} [17 x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Etapa 3.3.3

Como $17$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $17 x$ em relação a $x$ é $17 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{17 x} \cdot 17 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Etapa 3.3.4

Combine $17$ e $\frac{1}{17 x}$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{17}{17 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Etapa 3.3.5

Cancele o fator comum de $17$ .

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Etapa 3.3.5.1

Cancele o fator comum.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{17}{17 x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Etapa 3.3.5.2

Reescreva a expressão.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Etapa 3.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Etapa 3.3.7

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x) + 1]}}$

Etapa 3.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln (4 x) + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\ln (4 x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (4 x)] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Etapa 3.3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$ .

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Etapa 3.3.9.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 3.3.9.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Etapa 3.3.9.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Etapa 3.3.9.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Etapa 3.3.9.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{4 x} \cdot 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Etapa 3.3.9.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{4 x} \cdot 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}}$

Etapa 3.3.9.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [1]}}$

Etapa 3.3.9.5

Combine $\frac{1}{4 x}$ e $4$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{4}{4 x} + \frac{d}{d x} [1]}}$

Etapa 3.3.9.6

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.3.9.6.1

Cancele o fator comum.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{4}{4 x} + \frac{d}{d x} [1]}}$

Etapa 3.3.9.6.2

Reescreva a expressão.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [1]}}$

Etapa 3.3.10

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} + 0}}$

Etapa 3.3.11

Some $\frac{1}{x}$ e $0$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}}$

Etapa 3.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} x}$

Etapa 3.5

Combine $\frac{1}{x}$ e $x$ .

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}$

Etapa 3.6

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.6.1

Cancele o fator comum.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}$

Etapa 3.6.2

Reescreva a expressão.

$e^{(\ln (6) + 1) lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{(\ln (6) + 1) \cdot 1}$

Etapa 4.2

Multiplique $\ln (6) + 1$ por $1$ .

$e^{\ln (6) + 1}$