Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{2 x^{3} - (3 x + 1) \sqrt{x} + 2}{x - 1}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} 2 x^{3} - (3 x + 1) \sqrt{x} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 2 x^{3} - lim_{x \to 1} (3 x + 1) \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 1} x^{3} - lim_{x \to 1} (3 x + 1) \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2.3

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} (3 x + 1) \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2.4

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - lim_{x \to 1} 3 x + 1 \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - (lim_{x \to 1} 3 x + lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2.6

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - (3 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2.7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - (3 lim_{x \to 1} x + 1) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2.8

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - (3 lim_{x \to 1} x + 1) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2.9

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 1} x)}^{3} - (3 lim_{x \to 1} x + 1) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2.10

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.2.10.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 1^{3} - (3 lim_{x \to 1} x + 1) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2.10.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 1^{3} - (3 \cdot 1 + 1) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2.10.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 1^{3} - (3 \cdot 1 + 1) \cdot \sqrt{1} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2.11

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.11.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2 \cdot 1 - (3 \cdot 1 + 1) \cdot \sqrt{1} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2.11.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 - (3 \cdot 1 + 1) \cdot \sqrt{1} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2.11.1.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{2 - (3 + 1) \cdot \sqrt{1} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2.11.1.4

Some $3$ e $1$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 4 \cdot \sqrt{1} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2.11.1.5

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{2 - 4 \cdot \sqrt{1} + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2.11.1.6

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{2 - 4 \cdot 1 + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2.11.1.7

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{2 - 4 + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2.11.2

Subtraia $4$ de $2$ .

$\frac{- 2 + 2}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2.11.3

Some $- 2$ e $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{2 x^{3} - (3 x + 1) \sqrt{x} + 2}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3} - (3 x + 1) \sqrt{x} + 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3} - (3 x + 1) \sqrt{x} + 2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - (3 x + 1) \sqrt{x} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (3 x + 1) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (3 x + 1) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- (3 x + 1) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- (3 x + 1) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.3.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- (3 x + 1) \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- (3 x + 1) \sqrt{x}]$ .

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Etapa 3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- (3 x + 1) x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.4.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (3 x + 1) x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [(3 x + 1) x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{d}{d x} [(3 x + 1) x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.4.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 3 x + 1$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.4.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.4.6

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.4.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.4.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.4.9

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.4.10

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.4.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.4.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.12.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.4.12.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.4.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.4.14

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.4.15

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.4.16

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} (3 + 0)) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.4.17

Some $3$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.4.18

Mova $3$ para a esquerda de $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - ((3 x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - (3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - (3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.6.3

Combine os termos.

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Etapa 3.6.3.1

Combine $3$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - (x \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.6.3.2

Combine $x$ e $\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{x \cdot 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.6.3.3

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 \cdot x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.6.3.4

Multiplique $3$ por $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.6.3.5

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.6.3.6

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.6.3.6.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x)}{2} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.6.3.6.2

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Etapa 3.6.3.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{2} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.6.3.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x^{- \frac{1}{2} + 1}}{2} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.6.3.6.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.6.3.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.6.3.6.5

Some $- 1$ e $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - (1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.6.3.7

Multiplique $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (3 x^{\frac{1}{2}}) + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.6.3.8

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 x^{\frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.6.3.9

Para escrever $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.6.3.10

Combine $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.6.3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.6.3.12

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}} - 6 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.6.3.13

Subtraia $6 x^{\frac{1}{2}}$ de $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} + \frac{- 9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.6.3.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.6.3.15

Some $6 x^{2} - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Etapa 3.10

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 4

Converta expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 4.1

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{9 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 4.2

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} - \frac{9 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Etapa 5

Combine os termos.

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Etapa 5.1

Para escrever $6 x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{6 x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Etapa 5.2

Combine $6 x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{6 x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{9 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Etapa 5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Etapa 5.4

Para escrever $\frac{6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}}{2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Etapa 5.5

Multiplique $\frac{6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}}{2}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}) \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} - \frac{1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Etapa 5.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{(6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}) \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}}{1}$

Etapa 6

Divida $\frac{(6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}) \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{(6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}) \sqrt{x} - 1}{2 \sqrt{x}}$

Etapa 7

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 1} \frac{(6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}) \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$

Etapa 8

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} (6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}) \sqrt{x} - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Etapa 9

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} (6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x}) \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Etapa 10

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 6 x^{2} \cdot 2 - 9 \sqrt{x} \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Etapa 11

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(lim_{x \to 1} 6 x^{2} \cdot 2 - lim_{x \to 1} 9 \sqrt{x}) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Etapa 12

Mova o termo $6 \cdot 2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 9 \sqrt{x}) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Etapa 13

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 9 \sqrt{x}) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Etapa 14

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 9 lim_{x \to 1} \sqrt{x}) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Etapa 15

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 9 \sqrt{lim_{x \to 1} x}) \cdot lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Etapa 16

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 9 \sqrt{lim_{x \to 1} x}) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Etapa 17

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 9 \sqrt{lim_{x \to 1} x}) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x}}$

Etapa 18

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 {(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 9 \sqrt{lim_{x \to 1} x}) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Etapa 19

Avalie os limites substituindo $1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 19.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 \cdot 1^{2} - 9 \sqrt{lim_{x \to 1} x}) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Etapa 19.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 \cdot 1^{2} - 9 \sqrt{1}) \cdot \sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Etapa 19.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 \cdot 1^{2} - 9 \sqrt{1}) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{lim_{x \to 1} x}}$

Etapa 19.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(6 \cdot 2 \cdot 1^{2} - 9 \sqrt{1}) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Etapa 20

Simplifique a resposta.

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Etapa 20.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 20.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 20.1.1.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(12 \cdot 1^{2} - 9 \sqrt{1}) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Etapa 20.1.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(12 \cdot 1 - 9 \sqrt{1}) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Etapa 20.1.1.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(12 - 9 \sqrt{1}) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Etapa 20.1.1.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(12 - 9 \cdot 1) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Etapa 20.1.1.5

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(12 - 9) \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Etapa 20.1.2

Subtraia $9$ de $12$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot \sqrt{1} - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Etapa 20.1.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1 - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Etapa 20.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 1 \cdot 1}{\sqrt{1}}$

Etapa 20.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3 - 1}{\sqrt{1}}$

Etapa 20.1.6

Subtraia $1$ de $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{1}}$

Etapa 20.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1}$

Etapa 20.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 20.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1}$

Etapa 20.3.2

Reescreva a expressão.

$1$