Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Etapa 1.2.1.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 - lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Etapa 1.2.1.3

Mova o expoente $\frac{1}{8}$ de ${(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{2 - {(lim_{x \to 0} 256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Etapa 1.2.1.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 - {(lim_{x \to 0} 256 - lim_{x \to 0} 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Etapa 1.2.1.5

Avalie o limite de $256$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2 - {(256 - lim_{x \to 0} 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Etapa 1.2.1.6

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 - {(256 - 7 lim_{x \to 0} x)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{2 - {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Multiplique $- 7$ por $0$ .

$\frac{2 - {(256 + 0)}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Etapa 1.2.3.1.2

Some $256$ e $0$ .

$\frac{2 - 256^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Etapa 1.2.3.1.3

Reescreva $256$ como $2^{8}$ .

$\frac{2 - {(2^{8})}^{\frac{1}{8}}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Etapa 1.2.3.1.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 - 2^{8 (\frac{1}{8})}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Etapa 1.2.3.1.5

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 - 2^{8 (\frac{1}{8})}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Etapa 1.2.3.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 - 2^{1}}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Etapa 1.2.3.1.6

Avalie o expoente.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Etapa 1.2.3.1.7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - lim_{x \to 0} 2}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o expoente $\frac{1}{5}$ de ${(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} 5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - lim_{x \to 0} 2}$

Etapa 1.3.1.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} 5 x + lim_{x \to 0} 32)}^{\frac{1}{5}} - lim_{x \to 0} 2}$

Etapa 1.3.1.4

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{{(5 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 32)}^{\frac{1}{5}} - lim_{x \to 0} 2}$

Etapa 1.3.1.5

Avalie o limite de $32$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{1}{5}} - lim_{x \to 0} 2}$

Etapa 1.3.1.6

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{{(5 \cdot 0 + 32)}^{\frac{1}{5}} - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{0}{{(0 + 32)}^{\frac{1}{5}} - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.3.3.1.2

Some $0$ e $32$ .

$\frac{0}{32^{\frac{1}{5}} - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.3.3.1.3

Reescreva $32$ como $2^{5}$ .

$\frac{0}{{(2^{5})}^{\frac{1}{5}} - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.3.3.1.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{0}{2^{5 (\frac{1}{5})} - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.3.3.1.5

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 1.3.3.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{0}{2^{5 (\frac{1}{5})} - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.3.3.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{0}{2^{1} - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.3.3.1.6

Avalie o expoente.

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.3.3.1.7

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}}{{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8}}]}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{8}}$ e $g (x) = 256 - 7 x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $256 - 7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{8}}] \frac{d}{d x} [256 - 7 x])}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{8}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} u^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [256 - 7 x])}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $256 - 7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [256 - 7 x])}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $256 - 7 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [256] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1} (\frac{d}{d x} [256] + \frac{d}{d x} [- 7 x]))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.4.4

Como $256$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $256$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- 7 x]))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.4.5

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1} (0 - 7 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.4.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.4.8

Combine $- 1$ e $\frac{8}{8}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.4.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 8}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.4.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.10.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{1 - 8}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.4.10.2

Subtraia $8$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{\frac{- 7}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.4.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}} (0 - 7 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.4.12

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}} (0 - 7))}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.4.13

Subtraia $7$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{8} {(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}} \cdot - 7)}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.4.14

Combine $\frac{1}{8}$ e ${(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{{(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}}{8} \cdot - 7)}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.4.15

Combine $\frac{{(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}}{8}$ e $- 7$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{{(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}} \cdot - 7}{8}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.4.16

Mova $- 7$ para a esquerda de ${(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{- 7 {(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}}{8}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.4.17

Mova ${(256 - 7 x)}^{- \frac{7}{8}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{- 7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.4.18

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.4.19

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.4.20

Multiplique $\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.5

Some $0$ e $\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2]}$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [{(5 x + 32)}^{\frac{1}{5}}]$ .

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Etapa 3.7.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ e $g (x) = 5 x + 32$ .

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Etapa 3.7.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $5 x + 32$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [5 x + 32] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.7.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 32] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.7.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x + 32$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 32] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.7.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 32$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [32]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [32]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.7.3

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [32]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.7.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [32]) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.7.5

Como $32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $32$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.7.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.7.7

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.7.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.7.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.9.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{1 - 5}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.7.9.2

Subtraia $5$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{\frac{- 4}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.7.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}} (5 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.7.11

Multiplique $5$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}} (5 + 0) + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.7.12

Some $5$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{5} {(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.7.13

Combine $\frac{1}{5}$ e ${(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{{(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}}{5} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.7.14

Combine $\frac{{(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}}{5}$ e $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{{(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}} \cdot 5}{5} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.7.15

Mova $5$ para a esquerda de ${(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{5 \cdot {(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.7.16

Multiplique $5$ por ${(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{5 {(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.7.17

Mova ${(5 x + 32)}^{- \frac{4}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{5}{5 {(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.7.18

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{5}{5 {(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.7.19

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{{(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 3.8

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{{(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}} + 0}$

Etapa 3.9

Some $\frac{1}{{(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}}{\frac{1}{{(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}} {(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}$

Etapa 5

Combine $\frac{7}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$ e ${(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 {(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{8 {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Etapa 6

Mova o termo $\frac{7}{8}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{7}{8} lim_{x \to 0} \frac{{(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Etapa 8

Mova o expoente $\frac{4}{5}$ de ${(5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 5 x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Etapa 9

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 5 x + lim_{x \to 0} 32)}^{\frac{4}{5}}}{lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Etapa 10

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 32)}^{\frac{4}{5}}}{lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Etapa 11

Avalie o limite de $32$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{lim_{x \to 0} {(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Etapa 12

Mova o expoente $\frac{7}{8}$ de ${(256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(lim_{x \to 0} 256 - 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Etapa 13

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(lim_{x \to 0} 256 - lim_{x \to 0} 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Etapa 14

Avalie o limite de $256$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(256 - lim_{x \to 0} 7 x)}^{\frac{7}{8}}}$

Etapa 15

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 lim_{x \to 0} x + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(256 - 7 lim_{x \to 0} x)}^{\frac{7}{8}}}$

Etapa 16

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 \cdot 0 + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(256 - 7 lim_{x \to 0} x)}^{\frac{7}{8}}}$

Etapa 16.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{{(5 \cdot 0 + 32)}^{\frac{4}{5}}}{{(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Etapa 17

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Combine.

$\frac{7 {(5 \cdot 0 + 32)}^{\frac{4}{5}}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Etapa 17.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{7 {(0 + 32)}^{\frac{4}{5}}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Etapa 17.2.2

Some $0$ e $32$ .

$\frac{7 \cdot 32^{\frac{4}{5}}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Etapa 17.2.3

Reescreva $32$ como $2^{5}$ .

$\frac{7 \cdot {(2^{5})}^{\frac{4}{5}}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Etapa 17.2.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Etapa 17.2.5

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 \cdot 2^{5 (\frac{4}{5})}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Etapa 17.2.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{7 \cdot 2^{4}}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Etapa 17.2.6

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 {(256 - 7 \cdot 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Etapa 17.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.3.1

Multiplique $- 7$ por $0$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 {(256 + 0)}^{\frac{7}{8}}}$

Etapa 17.3.2

Some $256$ e $0$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 256^{\frac{7}{8}}}$

Etapa 17.3.3

Reescreva $256$ como $2^{8}$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot {(2^{8})}^{\frac{7}{8}}}$

Etapa 17.3.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 2^{8 (\frac{7}{8})}}$

Etapa 17.3.5

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.3.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 2^{8 (\frac{7}{8})}}$

Etapa 17.3.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 2^{7}}$

Etapa 17.3.6

Eleve $2$ à potência de $7$ .

$\frac{7 \cdot 16}{8 \cdot 128}$

Etapa 17.4

Multiplique $7$ por $16$ .

$\frac{112}{8 \cdot 128}$

Etapa 17.5

Multiplique $8$ por $128$ .

$\frac{112}{1024}$

Etapa 17.6

Cancele o fator comum de $112$ e $1024$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.6.1

Fatore $16$ de $112$ .

$\frac{16 (7)}{1024}$

Etapa 17.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.6.2.1

Fatore $16$ de $1024$ .

$\frac{16 \cdot 7}{16 \cdot 64}$

Etapa 17.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{16 \cdot 7}{16 \cdot 64}$

Etapa 17.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{7}{64}$