Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - x) - \sin (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 - x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Etapa 1.2.2

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 - x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Etapa 1.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Etapa 1.2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\ln (1 - lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Etapa 1.2.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\ln (1 - lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Etapa 1.2.6

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\ln (1 + 0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Etapa 1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\ln (1 + 0) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Etapa 1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.7.1.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\ln (1) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Etapa 1.2.7.1.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Etapa 1.2.7.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Etapa 1.2.7.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Etapa 1.2.7.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos^{2} (x)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}$

Etapa 1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos^{2} (x)}$

Etapa 1.3.1.3

Mova o expoente $2$ de $\cos^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2}}$

Etapa 1.3.1.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{1 - \cos^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - \cos^{2} (0)}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{0}{\sin^{2} (0)}$

Etapa 1.3.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Etapa 1.3.3.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 - x) - \sin (x)}{1 - \cos^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln (1 - x) - \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\ln (1 - x)]$ .

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Etapa 3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 - x$ .

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Etapa 3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} \frac{d}{d x} [1 - x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} (0 - \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} (0 - 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.7

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 - x} \cdot - 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.8

Combine $\frac{1}{1 - x}$ e $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- 1}{1 - x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Etapa 3.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Etapa 3.4.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos^{2} (x)]}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos^{2} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}$

Etapa 3.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]}$

Etapa 3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

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Etapa 3.7.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos^{2} (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}$

Etapa 3.7.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 3.7.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])}$

Etapa 3.7.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])}$

Etapa 3.7.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])}$

Etapa 3.7.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - (2 \cos (x) (- \sin (x)))}$

Etapa 3.7.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 - (- 2 \cos (x) \sin (x))}$

Etapa 3.7.5

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 + 2 (\cos (x) \sin (x))}$

Etapa 3.7.6

Remova os parênteses.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{0 + 2 \cos (x) \sin (x)}$

Etapa 3.8

Simplifique.

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Etapa 3.8.1

Some $0$ e $2 \cos (x) \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{2 \cos (x) \sin (x)}$

Etapa 3.8.2

Reordene $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{\sin (x) (2 \cos (x))}$

Etapa 3.8.3

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{2 \cdot \sin (x) \cos (x)}$

Etapa 3.8.4

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{1 - x} - \cos (x)}{\sin (2 x)}$

Etapa 4

Como a função se aproxima de $\infty$ a partir da esquerda e de $- \infty$ a partir da direita, o limite não existe.

$Não existe$