Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{x} - 6 x^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - 6 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{x} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{x} - 6 (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$e^{x} - 12 x$

Etapa 1.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - 12 x + e^{x}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 12 x + e^{x}$ .

$- 12 x + e^{x}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 12 x + e^{x} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 12 x + e^{x} = 0$

Etapa 2.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx 0.09129978, 3.82698356$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $e^{x} - 6 x^{2}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0.09129978$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0.09129978$ por $x$ .

$e^{0.09129978} - 6 {(0.09129978)}^{2}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $0.09129978$ à potência de $2$ .

$e^{0.09129978} - 6 \cdot 0.00833565$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $- 6$ por $0.00833565$ .

$e^{0.09129978} - 0.0500139$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $0.0500139$ de $e^{0.09129978}$ .

$1.04558349$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 3.82698356$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $3.82698356$ por $x$ .

$e^{3.82698356} - 6 {(3.82698356)}^{2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $3.82698356$ à potência de $2$ .

$e^{3.82698356} - 6 \cdot 14.64580317$

Etapa 4.2.2.1.2

Multiplique $- 6$ por $14.64580317$ .

$e^{3.82698356} - 87.87481903$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $87.87481903$ de $e^{3.82698356}$ .

$- 41.95101631$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(0.09129978, 1.04558349), (3.82698356, - 41.95101631)$

Etapa 5