Cálculo Exemplos

$f (x) = - x^{2} + 18 \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} + 18 \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 \ln (x)]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 \ln (x)]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [18 \ln (x)]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [18 \ln (x)]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [18 \ln (x)]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18 \ln (x)$ em relação a $x$ é $18 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$- 2 x + 18 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.1.3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$- 2 x + 18 \frac{1}{x}$

Etapa 1.1.3.3

Combine $18$ e $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = - 2 x + \frac{18}{x}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 x + \frac{18}{x}$ .

$- 2 x + \frac{18}{x}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 x + \frac{18}{x} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 2 x + \frac{18}{x} = 0$

Etapa 2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x, 1$

Etapa 2.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x$

Etapa 2.3

Multiplique cada termo em $- 2 x + \frac{18}{x} = 0$ por $x$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.3.1

Multiplique cada termo em $- 2 x + \frac{18}{x} = 0$ por $x$ .

$- 2 x \cdot x + \frac{18}{x} x = 0 x$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.2.1.1.1

Mova $x$ .

$- 2 (x \cdot x) + \frac{18}{x} x = 0 x$

Etapa 2.3.2.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$- 2 x^{2} + \frac{18}{x} x = 0 x$

Etapa 2.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$- 2 x^{2} + \frac{18}{x} x = 0 x$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$- 2 x^{2} + 18 = 0 x$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $0$ por $x$ .

$- 2 x^{2} + 18 = 0$

Etapa 2.4

Resolva a equação.

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Etapa 2.4.1

Subtraia $18$ dos dois lados da equação.

$- 2 x^{2} = - 18$

Etapa 2.4.2

Divida cada termo em $- 2 x^{2} = - 18$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 2.4.2.1

Divida cada termo em $- 2 x^{2} = - 18$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 18}{- 2}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 2.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 18}{- 2}$

Etapa 2.4.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 18}{- 2}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.3.1

Divida $- 18$ por $- 2$ .

$x^{2} = 9$

Etapa 2.4.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{9}$

Etapa 2.4.4

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

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Etapa 2.4.4.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 2.4.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 3$

Etapa 2.4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.4.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3$

Etapa 2.4.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3$

Etapa 2.4.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3, - 3$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{18}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 4

Avalie $- x^{2} + 18 \ln (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 3$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $3$ por $x$ .

$- {(3)}^{2} + 18 \ln (3)$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- 1 \cdot 9 + 18 \ln (3)$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$- 9 + 18 \ln (3)$

Etapa 4.1.2.3

Simplifique $18 \ln (3)$ movendo $18$ para dentro do logaritmo.

$- 9 + \ln (3^{18})$

Etapa 4.1.2.4

Eleve $3$ à potência de $18$ .

$- 9 + \ln (387420489)$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 3$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- 3$ por $x$ .

$- {(- 3)}^{2} + 18 \ln (- 3)$

Etapa 4.2.2

O logaritmo natural de um número negativo é indefinido.

Indefinido

Etapa 4.3

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$- {(0)}^{2} + 18 \ln (0)$

Etapa 4.3.2

O logaritmo natural de zero é indefinido.

Indefinido

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(3, - 9 + \ln (387420489))$

Etapa 5