Cálculo Exemplos

$f (x) = x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2 - x^{3}}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{2 - x^{3}}$ como ${(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [{(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 2 - x^{3}$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Etapa 1.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 - x^{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{3}]$

Etapa 1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Etapa 1.1.2.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}])$

Etapa 1.1.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} (0 - (3 x^{2}))$

Etapa 1.1.2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Etapa 1.1.2.8

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Etapa 1.1.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Etapa 1.1.2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Etapa 1.1.2.10.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{\frac{- 2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Etapa 1.1.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - (3 x^{2}))$

Etapa 1.1.2.12

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (0 - 3 x^{2})$

Etapa 1.1.2.13

Subtraia $3 x^{2}$ de $0$ .

$1 + \frac{1}{3} {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} (- 3 x^{2})$

Etapa 1.1.2.14

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} (- 3 x^{2})$

Etapa 1.1.2.15

Combine $- 3$ e $\frac{{(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} x^{2}$

Etapa 1.1.2.16

Combine $\frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x^{2}$ .

$1 + \frac{- 3 {(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}} x^{2}}{3}$

Etapa 1.1.2.17

Mova ${(2 - x^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 3 x^{2}}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.2.18

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.2.19

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.2.19.1

Fatore $3$ de $3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 ({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 1.1.2.19.2

Cancele o fator comum.

$1 + \frac{3 (- x^{2})}{3 {(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.2.19.3

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{- x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.2.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.3

Reordene os termos.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{x^{2}}{{(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}} + 1 = 0$

Etapa 2.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x = 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- \frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}} + 1$

Etapa 3.2

Defina o denominador em $\frac{x^{2}}{\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}} = 0$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{{(2 - x^{3})}^{2}}$ como ${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(2 - x^{3})}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(2 - x^{3})}^{2} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

${(2 - x^{3})}^{2} = 0$

Etapa 3.3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.3.1

Defina $2 - x^{3}$ como igual a $0$ .

$2 - x^{3} = 0$

Etapa 3.3.3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.3.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x^{3} = - 2$

Etapa 3.3.3.2.2

Divida cada termo em $- x^{3} = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.2.2.1

Divida cada termo em $- x^{3} = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{3}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 3.3.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{3}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 3.3.3.2.2.2.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 3.3.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.2.2.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x^{3} = 2$

Etapa 3.3.3.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{2}$

Etapa 4

Avalie $x + \sqrt[3]{2 - x^{3}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$(1) + \sqrt[3]{2 - {(1)}^{3}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + \sqrt[3]{2 - 1 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 + \sqrt[3]{2 - 1}$

Etapa 4.1.2.1.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$1 + \sqrt[3]{1}$

Etapa 4.1.2.1.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$1 + 1$

Etapa 4.1.2.2

Some $1$ e $1$ .

$2$

Etapa 4.2

Avalie em $x = \sqrt[3]{2}$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $\sqrt[3]{2}$ por $x$ .

$(\sqrt[3]{2}) + \sqrt[3]{2 - {(\sqrt[3]{2})}^{3}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1.1

Reescreva ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ como $2$ .

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Etapa 4.2.2.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{2}$ como $2^{\frac{1}{3}}$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - {(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 4.2.2.1.1.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 4.2.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 4.2.2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2^{1}}$

Etapa 4.2.2.1.1.5

Avalie o expoente.

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 1 \cdot 2}$

Etapa 4.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2 - 2}$

Etapa 4.2.2.1.3

Subtraia $2$ de $2$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{0}$

Etapa 4.2.2.1.4

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 4.2.2.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$\sqrt[3]{2} + 0$

Etapa 4.2.2.2

Some $\sqrt[3]{2}$ e $0$ .

$\sqrt[3]{2}$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(1, 2), (\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2})$

Etapa 5