Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{3 e^{x}}{x^{5}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 e^{x}}{x^{5}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{5}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{5}}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{5}$ .

$3 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{2}$ .

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Etapa 1.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$3 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$3 \frac{x^{5} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 1.1.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.1.5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$3 \frac{x^{5} e^{x} - e^{x} (5 x^{4})}{x^{10}}$

Etapa 1.1.5.2

Combine frações.

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Etapa 1.1.5.2.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$3 \frac{x^{5} e^{x} - 5 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

Etapa 1.1.5.2.2

Combine $3$ e $\frac{x^{5} e^{x} - 5 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$ .

$\frac{3 (x^{5} e^{x} - 5 e^{x} x^{4})}{x^{10}}$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

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Etapa 1.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (x^{5} e^{x}) + 3 (- 5 e^{x} x^{4})}{x^{10}}$

Etapa 1.1.6.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.6.2.1

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$\frac{3 x^{5} e^{x} - 15 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

Etapa 1.1.6.2.2

Reordene os fatores em $3 x^{5} e^{x} - 15 e^{x} x^{4}$ .

$\frac{3 x^{5} e^{x} - 15 x^{4} e^{x}}{x^{10}}$

Etapa 1.1.6.3

Reordene os termos.

$\frac{3 e^{x} x^{5} - 15 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

Etapa 1.1.6.4

Fatore $3 e^{x} x^{4}$ de $3 e^{x} x^{5} - 15 e^{x} x^{4}$ .

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Etapa 1.1.6.4.1

Fatore $3 e^{x} x^{4}$ de $3 e^{x} x^{5}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{4} (x) - 15 e^{x} x^{4}}{x^{10}}$

Etapa 1.1.6.4.2

Fatore $3 e^{x} x^{4}$ de $- 15 e^{x} x^{4}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{4} (x) + 3 e^{x} x^{4} (- 5)}{x^{10}}$

Etapa 1.1.6.4.3

Fatore $3 e^{x} x^{4}$ de $3 e^{x} x^{4} (x) + 3 e^{x} x^{4} (- 5)$ .

$\frac{3 e^{x} x^{4} (x - 5)}{x^{10}}$

Etapa 1.1.6.5

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x^{10}$ .

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Etapa 1.1.6.5.1

Fatore $x^{4}$ de $3 e^{x} x^{4} (x - 5)$ .

$\frac{x^{4} (3 e^{x} (x - 5))}{x^{10}}$

Etapa 1.1.6.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.6.5.2.1

Fatore $x^{4}$ de $x^{10}$ .

$\frac{x^{4} (3 e^{x} (x - 5))}{x^{4} x^{6}}$

Etapa 1.1.6.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{4} (3 e^{x} (x - 5))}{x^{4} x^{6}}$

Etapa 1.1.6.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$ .

$\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$3 e^{x} (x - 5) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 2.3.2.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 2.3.2.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.3.2.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.3.3

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $3 e^{x} (x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 5$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{3 e^{x} (x - 5)}{x^{6}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{6} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt[6]{0}$

Etapa 3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt[6]{0}$ .

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Etapa 3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{0^{6}}$

Etapa 3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4

Avalie $\frac{3 e^{x}}{x^{5}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 5$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $5$ por $x$ .

$\frac{3 e^{5}}{{(5)}^{5}}$

Etapa 4.1.2

Eleve $5$ à potência de $5$ .

$\frac{3 e^{5}}{3125}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{3 e^{0}}{{(0)}^{5}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{3 e^{0}}{0}$

Etapa 4.2.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(5, \frac{3 e^{5}}{3125})$

Etapa 5