Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + π$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + π$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [π]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [π]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [π]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [π]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} - 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [π]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 6$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [π]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [π]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [π]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [π]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $2 x$ de $4 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $2 x$ de $4 x^{3}$ .

$2 x (2 x^{2}) - 18 x^{2} + 8 x = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $2 x$ de $- 18 x^{2}$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 9 x) + 8 x = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $2 x$ de $8 x$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 9 x) + 2 x (4) = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $2 x$ de $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 9 x)$ .

$2 x (2 x^{2} - 9 x) + 2 x (4) = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $2 x$ de $2 x (2 x^{2} - 9 x) + 2 x (4)$ .

$2 x (2 x^{2} - 9 x + 4) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ e cuja soma é $b = - 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1.1

Fatore $- 9$ de $- 9 x$ .

$2 x (2 x^{2} - 9 x + 4) = 0$

Etapa 2.2.2.1.1.2

Reescreva $- 9$ como $- 1$ mais $- 8$

$2 x (2 x^{2} + (- 1 - 8) x + 4) = 0$

Etapa 2.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (2 x^{2} - 1 x - 8 x + 4) = 0$

Etapa 2.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 x ((2 x^{2} - 1 x) - 8 x + 4) = 0$

Etapa 2.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 x (x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1)) = 0$

Etapa 2.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$2 x ((2 x - 1) (x - 4)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 x (2 x - 1) (x - 4) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 2.5.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 2.6

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.6.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (2 x - 1) (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{1}{2}, 4$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + π$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{4} - 6 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} + π$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 6 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{2} + π$

Etapa 4.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 4 {(0)}^{2} + π$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$0 + 0 + 4 {(0)}^{2} + π$

Etapa 4.1.2.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 0 + 4 \cdot 0 + π$

Etapa 4.1.2.1.5

Multiplique $4$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 + π$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0 + π$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0 + π$

Etapa 4.1.2.2.3

Some $0$ e $π$ .

$π$

Etapa 4.2

Avalie em $x = \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $\frac{1}{2}$ por $x$ .

${(\frac{1}{2})}^{4} - 6 {(\frac{1}{2})}^{3} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1^{4}}{2^{4}} - 6 {(\frac{1}{2})}^{3} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Etapa 4.2.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2^{4}} - 6 {(\frac{1}{2})}^{3} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Etapa 4.2.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{1}{16} - 6 {(\frac{1}{2})}^{3} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Etapa 4.2.2.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} - 6 \frac{1^{3}}{2^{3}} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Etapa 4.2.2.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{16} - 6 \frac{1}{2^{3}} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Etapa 4.2.2.1.6

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{16} - 6 (\frac{1}{8}) + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Etapa 4.2.2.1.7

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.7.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$\frac{1}{16} + 2 (- 3) \frac{1}{8} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Etapa 4.2.2.1.7.2

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{1}{16} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2 \cdot 4} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Etapa 4.2.2.1.7.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{16} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2 \cdot 4} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Etapa 4.2.2.1.7.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{16} - 3 (\frac{1}{4}) + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Etapa 4.2.2.1.8

Combine $- 3$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{16} + \frac{- 3}{4} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Etapa 4.2.2.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + π$

Etapa 4.2.2.1.10

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 4 \frac{1^{2}}{2^{2}} + π$

Etapa 4.2.2.1.11

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 4 \frac{1}{2^{2}} + π$

Etapa 4.2.2.1.12

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 4 (\frac{1}{4}) + π$

Etapa 4.2.2.1.13

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.13.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 4 (\frac{1}{4}) + π$

Etapa 4.2.2.1.13.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{16} - \frac{3}{4} + 1 + π$

Etapa 4.2.2.2

Para escrever $- \frac{3}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{16} - \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{4} + 1 + π$

Etapa 4.2.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $16$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{16} - \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} + 1 + π$

Etapa 4.2.2.3.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$\frac{1}{16} - \frac{3 \cdot 4}{16} + 1 + π$

Etapa 4.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - 3 \cdot 4}{16} + 1 + π$

Etapa 4.2.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.5.1

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$\frac{1 - 12}{16} + 1 + π$

Etapa 4.2.2.5.2

Subtraia $12$ de $1$ .

$\frac{- 11}{16} + 1 + π$

Etapa 4.2.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{11}{16} + 1 + π$

Etapa 4.2.2.7

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{11}{16} + \frac{16}{16} + π$

Etapa 4.2.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 11 + 16}{16} + π$

Etapa 4.2.2.9

Some $- 11$ e $16$ .

$\frac{5}{16} + π$

Etapa 4.3

Avalie em $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $4$ por $x$ .

${(4)}^{4} - 6 {(4)}^{3} + 4 {(4)}^{2} + π$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$256 - 6 {(4)}^{3} + 4 {(4)}^{2} + π$

Etapa 4.3.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$256 - 6 \cdot 64 + 4 {(4)}^{2} + π$

Etapa 4.3.2.1.3

Multiplique $- 6$ por $64$ .

$256 - 384 + 4 {(4)}^{2} + π$

Etapa 4.3.2.1.4

Multiplique $4$ por ${(4)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.1

Multiplique $4$ por ${(4)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.1.1

Eleve $4$ à potência de $1$ .

$256 - 384 + 4^{1} {(4)}^{2} + π$

Etapa 4.3.2.1.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$256 - 384 + 4^{1 + 2} + π$

Etapa 4.3.2.1.4.2

Some $1$ e $2$ .

$256 - 384 + 4^{3} + π$

Etapa 4.3.2.1.5

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$256 - 384 + 64 + π$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Subtraia $384$ de $256$ .

$- 128 + 64 + π$

Etapa 4.3.2.2.2

Some $- 128$ e $64$ .

$- 64 + π$

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(0, π), (\frac{1}{2}, \frac{5}{16} + π), (4, - 64 + π)$

Etapa 5