Cálculo Exemplos

$F (t) = U e^{t} + V e^{- t}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $U e^{t} + V e^{- t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [U e^{t}] + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$ .

$\frac{d}{d t} [U e^{t}] + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d t} [U e^{t}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $U$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $U e^{t}$ em relação a $t$ é $U \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$U \frac{d}{d t} [e^{t}] + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ é $a^{t} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$U e^{t} + \frac{d}{d t} [V e^{- t}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [V e^{- t}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $V$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $V e^{- t}$ em relação a $t$ é $V \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$U e^{t} + V \frac{d}{d t} [e^{- t}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = - t$ .

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Etapa 1.1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- t$ .

$U e^{t} + V (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- t])$

Etapa 1.1.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$U e^{t} + V (e^{u} \frac{d}{d t} [- t])$

Etapa 1.1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- t$ .

$U e^{t} + V (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])$

Etapa 1.1.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$U e^{t} + V (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

Etapa 1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$U e^{t} + V (e^{- t} (- 1 \cdot 1))$

Etapa 1.1.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$U e^{t} + V (e^{- t} \cdot - 1)$

Etapa 1.1.3.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- t}$ .

$U e^{t} + V (- 1 \cdot e^{- t})$

Etapa 1.1.3.7

Reescreva $- 1 e^{- t}$ como $- e^{- t}$ .

$U e^{t} + V (- e^{- t})$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Reordene os termos.

$e^{t} U - e^{- t} V$

Etapa 1.1.4.2

Reordene os fatores em $e^{t} U - e^{- t} V$ .

$f' (t) = U e^{t} - V e^{- t}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $F (t)$ com relação a $t$ é $U e^{t} - V e^{- t}$ .

$U e^{t} - V e^{- t}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$U e^{t} - V e^{- t} = 0$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Não há valores de $t$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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