Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{2} e^{- x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} \cdot e^{- x}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Combine $e^{- x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{- x}}{2} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{- x}}{2} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{e^{- x}}{2} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 1.1.3.4

Combine frações.

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Etapa 1.1.3.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{e^{- x}}{2} \cdot - 1$

Etapa 1.1.3.4.2

Combine $\frac{e^{- x}}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{e^{- x} \cdot - 1}{2}$

Etapa 1.1.3.4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.4.3.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$\frac{- 1 \cdot e^{- x}}{2}$

Etapa 1.1.3.4.3.2

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$\frac{- e^{- x}}{2}$

Etapa 1.1.3.4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{e^{- x}}{2}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{e^{- x}}{2}$ .

$- \frac{e^{- x}}{2}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{e^{- x}}{2} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{e^{- x}}{2} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$e^{- x} = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Etapa 2.3.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.3.3

Não há uma solução para $e^{- x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado