Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2} \ln (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2} \ln (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$2 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.5

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.6

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$2 (\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.6.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$2 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.6.2.3

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.6.2.4

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{x}{1} + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.6.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 7 (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 7$ .

$2 (x + \ln (x) (2 x)) - 14 x$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x + 2 (\ln (x) (2 x)) - 14 x$

Etapa 1.1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 1.1.4.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 x + 4 (\ln (x) (x)) - 14 x$

Etapa 1.1.4.2.2

Subtraia $14 x$ de $2 x$ .

$4 \ln (x) x - 12 x$

Etapa 1.1.4.3

Reordene os termos.

$f' (x) = 4 x \ln (x) - 12 x$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x \ln (x) - 12 x$ .

$4 x \ln (x) - 12 x$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x \ln (x) - 12 x = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x \ln (x) - 12 x = 0$

Etapa 2.2

Some $12 x$ aos dois lados da equação.

$4 x \ln (x) = 12 x$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $4 x \ln (x) = 12 x$ por $4 x$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $4 x \ln (x) = 12 x$ por $4 x$ .

$\frac{4 x \ln (x)}{4 x} = \frac{12 x}{4 x}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x \ln (x)}{4 x} = \frac{12 x}{4 x}$

Etapa 2.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{12 x}{4 x}$

Etapa 2.3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{12 x}{4 x}$

Etapa 2.3.2.2.2

Divida $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{12 x}{4 x}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Cancele o fator comum de $12$ e $4$ .

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Etapa 2.3.3.1.1

Fatore $4$ de $12 x$ .

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 x}$

Etapa 2.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.3.1.2.1

Fatore $4$ de $4 x$ .

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 (x)}$

Etapa 2.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (x) = \frac{4 (3 x)}{4 x}$

Etapa 2.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (x) = \frac{3 x}{x}$

Etapa 2.3.3.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (x) = \frac{3 x}{x}$

Etapa 2.3.3.2.2

Divida $3$ por $1$ .

$\ln (x) = 3$

Etapa 2.4

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{3}$

Etapa 2.5

Reescreva $\ln (x) = 3$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x$

Etapa 2.6

Reescreva a equação como $x = e^{3}$ .

$x = e^{3}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o argumento em $\ln (x)$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x \leq 0$

Etapa 3.2

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 4

Avalie $2 x^{2} \ln (x) - 7 x^{2}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = e^{3}$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $e^{3}$ por $x$ .

$2 {(e^{3})}^{2} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{3})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 e^{3 \cdot 2} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$2 e^{6} \ln (e^{3}) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.2

Use as regras logarítmicas para mover $3$ para fora do expoente.

$2 e^{6} (3 \ln (e)) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$2 e^{6} (3 \cdot 1) - 7 {(e^{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 e^{6} \cdot 3 - 7 {(e^{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 e^{6} - 7 {(e^{3})}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.6

Multiplique os expoentes em ${(e^{3})}^{2}$ .

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Etapa 4.1.2.1.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 e^{6} - 7 e^{3 \cdot 2}$

Etapa 4.1.2.1.6.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 e^{6} - 7 e^{6}$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $7 e^{6}$ de $6 e^{6}$ .

$- e^{6}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

$2 {(0)}^{2} \ln (0) - 7 {(0)}^{2}$

Etapa 4.2.2

O logaritmo natural de zero é indefinido.

Indefinido

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(e^{3}, - e^{6})$

Etapa 5