Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 1.1.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$0 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$0 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 1.1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$0 - x^{- 2} + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$0 - x^{- 2} - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$0 - x^{- 2} - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - x^{- 2} - {(x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 1.1.3.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - x^{- 2} - x^{2 \cdot - 2} (2 x)$

Etapa 1.1.3.4.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$0 - x^{- 2} - x^{- 4} (2 x)$

Etapa 1.1.3.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - x^{- 2} - 2 x^{- 4} x$

Etapa 1.1.3.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$0 - x^{- 2} - 2 (x^{1} x^{- 4})$

Etapa 1.1.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$0 - x^{- 2} - 2 x^{1 - 4}$

Etapa 1.1.3.8

Subtraia $4$ de $1$ .

$0 - x^{- 2} - 2 x^{- 3}$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{x^{2}} - 2 x^{- 3}$

Etapa 1.1.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{x^{2}} - 2 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 1.1.4.3

Combine os termos.

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Etapa 1.1.4.3.1

Subtraia $\frac{1}{x^{2}}$ de $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - 2 \frac{1}{x^{3}}$

Etapa 1.1.4.3.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Etapa 1.1.4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} = 0$

Etapa 2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{2}, x^{3}, 1$

Etapa 2.2.2

Como $x^{2}, x^{3}, 1$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $x^{2}, x^{3}, 1$ 1) e, depois, o da parte variável $x^{2}, x^{3}, 1$ .

Etapa 2.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.2.5

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.2.6

Os fatores para $x^{2}$ são $x \cdot x$ , que é $x$ multiplicado um pelo outro $2$ vezes.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ ocorre $2$ vezes.

Etapa 2.2.7

Os fatores para $x^{3}$ são $x \cdot x \cdot x$ , que é $x$ multiplicado um pelo outro $3$ vezes.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ ocorre $3$ vezes.

Etapa 2.2.8

O MMC de $x^{2}, x^{3}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x \cdot x \cdot x$

Etapa 2.2.9

Simplifique $x \cdot x \cdot x$ .

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Etapa 2.2.9.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} \cdot x$

Etapa 2.2.9.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.9.2.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 2.2.9.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1}$

Etapa 2.2.9.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2 + 1}$

Etapa 2.2.9.2.2

Some $2$ e $1$ .

$x^{3}$

Etapa 2.3

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} = 0$ por $x^{3}$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.3.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} = 0$ por $x^{3}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{3} - \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{3} - \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 2.3.2.1.1.2

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x) - \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 2.3.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x) - \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 2.3.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- x - \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 2.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 2.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{x^{3}}$ para o numerador.

$- x + \frac{- 2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$- x + \frac{- 2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Etapa 2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$- x - 2 = 0 x^{3}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $0$ por $x^{3}$ .

$- x - 2 = 0$

Etapa 2.4

Resolva a equação.

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Etapa 2.4.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$- x = 2$

Etapa 2.4.2

Divida cada termo em $- x = 2$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.4.2.1

Divida cada termo em $- x = 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{2}{- 1}$

Etapa 2.4.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{2}{- 1}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.3.1

Divida $2$ por $- 1$ .

$x = - 2$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.3

Defina o denominador em $\frac{2}{x^{3}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{3} = 0$

Etapa 3.4

Resolva $x$ .

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Etapa 3.4.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 3.4.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 3.4.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 3.4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 4

Avalie $3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = - 2$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$3 + \frac{1}{- 2} + \frac{1}{{(- 2)}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Encontre o denominador comum.

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Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$3 + \frac{1}{- 2} + \frac{1}{4}$

Etapa 4.1.2.1.2

Escreva $3$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{3}{1} + \frac{1}{- 2} + \frac{1}{4}$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $\frac{3}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{- 2} + \frac{1}{4}$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $\frac{3}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{- 2} + \frac{1}{4}$

Etapa 4.1.2.1.5

Multiplique $\frac{1}{- 2}$ por $\frac{- 2}{- 2}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{- 2} \cdot \frac{- 2}{- 2} + \frac{1}{4}$

Etapa 4.1.2.1.6

Multiplique $\frac{1}{- 2}$ por $\frac{- 2}{- 2}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{- 2 \cdot - 2} + \frac{1}{4}$

Etapa 4.1.2.1.7

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{4} + \frac{1}{4}$

Etapa 4.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 \cdot 4 - 2 + 1}{4}$

Etapa 4.1.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{12 - 2 + 1}{4}$

Etapa 4.1.2.3.2

Subtraia $2$ de $12$ .

$\frac{10 + 1}{4}$

Etapa 4.1.2.3.3

Some $10$ e $1$ .

$\frac{11}{4}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

$3 + \frac{1}{0} + \frac{1}{{(0)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 + \frac{1}{0} + \frac{1}{0}$

Etapa 4.2.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(- 2, \frac{11}{4})$

Etapa 5