Cálculo Exemplos

$P (t) = 0.00000002 t^{4} - 0.0000167 t^{3} + 0.00156 t^{2} + 0.002 t + 0.24$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $0.00000002 t^{4} - 0.0000167 t^{3} + 0.00156 t^{2} + 0.002 t + 0.24$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [0.00000002 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 0.0000167 t^{3}] + \frac{d}{d t} [0.00156 t^{2}] + \frac{d}{d t} [0.002 t] + \frac{d}{d t} [0.24]$ .

$\frac{d}{d t} [0.00000002 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 0.0000167 t^{3}] + \frac{d}{d t} [0.00156 t^{2}] + \frac{d}{d t} [0.002 t] + \frac{d}{d t} [0.24]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d t} [0.00000002 t^{4}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $0.00000002$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $0.00000002 t^{4}$ em relação a $t$ é $0.00000002 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$0.00000002 \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 0.0000167 t^{3}] + \frac{d}{d t} [0.00156 t^{2}] + \frac{d}{d t} [0.002 t] + \frac{d}{d t} [0.24]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$0.00000002 (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- 0.0000167 t^{3}] + \frac{d}{d t} [0.00156 t^{2}] + \frac{d}{d t} [0.002 t] + \frac{d}{d t} [0.24]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $4$ por $0.00000002$ .

$0.00000008 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 0.0000167 t^{3}] + \frac{d}{d t} [0.00156 t^{2}] + \frac{d}{d t} [0.002 t] + \frac{d}{d t} [0.24]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [- 0.0000167 t^{3}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 0.0000167$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 0.0000167 t^{3}$ em relação a $t$ é $- 0.0000167 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$0.00000008 t^{3} - 0.0000167 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [0.00156 t^{2}] + \frac{d}{d t} [0.002 t] + \frac{d}{d t} [0.24]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0.00000008 t^{3} - 0.0000167 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [0.00156 t^{2}] + \frac{d}{d t} [0.002 t] + \frac{d}{d t} [0.24]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 0.0000167$ .

$0.00000008 t^{3} - 0.0000501 t^{2} + \frac{d}{d t} [0.00156 t^{2}] + \frac{d}{d t} [0.002 t] + \frac{d}{d t} [0.24]$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d t} [0.00156 t^{2}]$ .

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Etapa 1.1.4.1

Como $0.00156$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $0.00156 t^{2}$ em relação a $t$ é $0.00156 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$0.00000008 t^{3} - 0.0000501 t^{2} + 0.00156 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [0.002 t] + \frac{d}{d t} [0.24]$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0.00000008 t^{3} - 0.0000501 t^{2} + 0.00156 (2 t) + \frac{d}{d t} [0.002 t] + \frac{d}{d t} [0.24]$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $2$ por $0.00156$ .

$0.00000008 t^{3} - 0.0000501 t^{2} + 0.00312 t + \frac{d}{d t} [0.002 t] + \frac{d}{d t} [0.24]$

Etapa 1.1.5

Avalie $\frac{d}{d t} [0.002 t]$ .

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Etapa 1.1.5.1

Como $0.002$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $0.002 t$ em relação a $t$ é $0.002 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0.00000008 t^{3} - 0.0000501 t^{2} + 0.00312 t + 0.002 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [0.24]$

Etapa 1.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0.00000008 t^{3} - 0.0000501 t^{2} + 0.00312 t + 0.002 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [0.24]$

Etapa 1.1.5.3

Multiplique $0.002$ por $1$ .

$0.00000008 t^{3} - 0.0000501 t^{2} + 0.00312 t + 0.002 + \frac{d}{d t} [0.24]$

Etapa 1.1.6

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.6.1

Como $0.24$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $0.24$ em relação a $t$ é $0$ .

$0.00000008 t^{3} - 0.0000501 t^{2} + 0.00312 t + 0.002 + 0$

Etapa 1.1.6.2

Some $0.00000008 t^{3} - 0.0000501 t^{2} + 0.00312 t + 0.002$ e $0$ .

$f' (t) = 0.00000008 t^{3} - 0.0000501 t^{2} + 0.00312 t + 0.002$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $P (t)$ com relação a $t$ é $0.00000008 t^{3} - 0.0000501 t^{2} + 0.00312 t + 0.002$ .

$0.00000008 t^{3} - 0.0000501 t^{2} + 0.00312 t + 0.002$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $0.00000008 t^{3} - 0.0000501 t^{2} + 0.00312 t + 0.002 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$0.00000008 t^{3} - 0.0000501 t^{2} + 0.00312 t + 0.002 = 0$

Etapa 2.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$t \approx - 0.63455276$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $0.00000002 t^{4} - 0.0000167 t^{3} + 0.00156 t^{2} + 0.002 t + 0.24$ em cada valor $t$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $t = - 0.63455276$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $- 0.63455276$ por $t$ .

$0.00000002 {(- 0.63455276)}^{4} - 0.0000167 {(- 0.63455276)}^{3} + 0.00156 {(- 0.63455276)}^{2} + 0.002 (- 0.63455276) + 0.24$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $- 0.63455276$ à potência de $4$ .

$0.00000002 \cdot 0.16213282 - 0.0000167 {(- 0.63455276)}^{3} + 0.00156 {(- 0.63455276)}^{2} + 0.002 (- 0.63455276) + 0.24$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $0.00000002$ por $0.16213282$ .

$0 - 0.0000167 {(- 0.63455276)}^{3} + 0.00156 {(- 0.63455276)}^{2} + 0.002 (- 0.63455276) + 0.24$

Etapa 4.1.2.1.3

Eleve $- 0.63455276$ à potência de $3$ .

$0 - 0.0000167 \cdot - 0.25550724 + 0.00156 {(- 0.63455276)}^{2} + 0.002 (- 0.63455276) + 0.24$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $- 0.0000167$ por $- 0.25550724$ .

$0 + 0.00000426 + 0.00156 {(- 0.63455276)}^{2} + 0.002 (- 0.63455276) + 0.24$

Etapa 4.1.2.1.5

Eleve $- 0.63455276$ à potência de $2$ .

$0 + 0.00000426 + 0.00156 \cdot 0.40265721 + 0.002 (- 0.63455276) + 0.24$

Etapa 4.1.2.1.6

Multiplique $0.00156$ por $0.40265721$ .

$0 + 0.00000426 + 0.00062814 + 0.002 (- 0.63455276) + 0.24$

Etapa 4.1.2.1.7

Multiplique $0.002$ por $- 0.63455276$ .

$0 + 0.00000426 + 0.00062814 - 0.0012691 + 0.24$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.1.2.2.1

Some $0$ e $0.00000426$ .

$0.00000427 + 0.00062814 - 0.0012691 + 0.24$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $0.00000427$ e $0.00062814$ .

$0.00063241 - 0.0012691 + 0.24$

Etapa 4.1.2.2.3

Subtraia $0.0012691$ de $0.00063241$ .

$- 0.00063668 + 0.24$

Etapa 4.1.2.2.4

Some $- 0.00063668$ e $0.24$ .

$0.23936331$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(- 0.63455276, 0.23936331)$

Etapa 5