Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{x^{3} - 3 x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{3} - 3 x$ .

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Etapa 1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3} - 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x]$

Etapa 1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3} - 3 x$ .

$e^{x^{3} - 3 x} \frac{d}{d x} [x^{3} - 3 x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 3 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Etapa 1.1.2.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3 \cdot 1)$

Etapa 1.1.2.5

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3)$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3)$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3)$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3) = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{x^{3} - 3 x} = 0$

$3 x^{2} - 3 = 0$

Etapa 2.3

Defina $e^{x^{3} - 3 x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $e^{x^{3} - 3 x}$ como igual a $0$ .

$e^{x^{3} - 3 x} = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $e^{x^{3} - 3 x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x^{3} - 3 x}) = \ln (0)$

Etapa 2.3.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.3.2.3

Não há uma solução para $e^{x^{3} - 3 x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.4

Defina $3 x^{2} - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $3 x^{2} - 3$ como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 3 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $3 x^{2} - 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$3 x^{2} = 3$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $3 x^{2} = 3$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $3 x^{2} = 3$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{3}$

Etapa 2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.2.3.1

Divida $3$ por $3$ .

$x^{2} = 1$

Etapa 2.4.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 2.4.2.4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 2.4.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.4.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 2.4.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 2.4.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $e^{x^{3} - 3 x} (3 x^{2} - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $e^{x^{3} - 3 x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$e^{{(1)}^{3} - 3 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$e^{1 - 3 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$e^{1 - 3}$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$e^{- 2}$

Etapa 4.1.2.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{2}}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 1$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$e^{{(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$e^{- 1 - 3 \cdot - 1}$

Etapa 4.2.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$e^{- 1 + 3}$

Etapa 4.2.2.2

Some $- 1$ e $3$ .

$e^{2}$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(1, \frac{1}{e^{2}}), (- 1, e^{2})$

Etapa 5