Cálculo Exemplos

$f (x) = \sec (\frac{π x}{4})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = \frac{π x}{4}$ .

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Etapa 1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{π x}{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

Etapa 1.1.1.2

A derivada de $\sec (u)$ em relação a $u$ é $\sec (u) \tan (u)$ .

$\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

Etapa 1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{π x}{4}$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{π x}{4}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

Como $\frac{π}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{π x}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) (\frac{π}{4} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.2.2

Combine frações.

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Etapa 1.1.2.2.1

Combine $\frac{π}{4}$ e $\sec (\frac{π x}{4})$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4})}{4} \tan (\frac{π x}{4}) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2.2.2

Combine $\frac{π \sec (\frac{π x}{4})}{4}$ e $\tan (\frac{π x}{4})$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} \cdot 1$

Etapa 1.1.2.4

Multiplique $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4})}{4} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) = 0$

$\tan (\frac{π x}{4}) = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $\sec (\frac{π x}{4})$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Defina $\sec (\frac{π x}{4})$ como igual a $0$ .

$\sec (\frac{π x}{4}) = 0$

Etapa 2.3.2.2

O intervalo da secante é $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Como $0$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 2.3.3

Defina $\tan (\frac{π x}{4})$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Defina $\tan (\frac{π x}{4})$ como igual a $0$ .

$\tan (\frac{π x}{4}) = 0$

Etapa 2.3.3.2

Resolva $\tan (\frac{π x}{4}) = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$\frac{π x}{4} = \arctan (0)$

Etapa 2.3.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.2.2.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$\frac{π x}{4} = 0$

Etapa 2.3.3.2.3

Defina o numerador como igual a zero.

$π x = 0$

Etapa 2.3.3.2.4

Divida cada termo em $π x = 0$ por $π$ e simplifique.

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Etapa 2.3.3.2.4.1

Divida cada termo em $π x = 0$ por $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Etapa 2.3.3.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Etapa 2.3.3.2.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Etapa 2.3.3.2.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.4.3.1

Divida $0$ por $π$ .

$x = 0$

Etapa 2.3.3.2.5

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$\frac{π x}{4} = π + 0$

Etapa 2.3.3.2.6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.6.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π + 0)$

Etapa 2.3.3.2.6.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.6.2.1.1

Simplifique $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.6.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.6.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π + 0)$

Etapa 2.3.3.2.6.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π + 0)$

Etapa 2.3.3.2.6.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.6.2.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (π + 0)$

Etapa 2.3.3.2.6.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π + 0)$

Etapa 2.3.3.2.6.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{4}{π} (π + 0)$

Etapa 2.3.3.2.6.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.6.2.2.1

Simplifique $\frac{4}{π} (π + 0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.6.2.2.1.1

Some $π$ e $0$ .

$x = \frac{4}{π} π$

Etapa 2.3.3.2.6.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.6.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{4}{π} π$

Etapa 2.3.3.2.6.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x = 4$

Etapa 2.3.3.2.7

Encontre o período de $\tan (\frac{π x}{4})$ .

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Etapa 2.3.3.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 2.3.3.2.7.2

Substitua $b$ por $\frac{π}{4}$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| \frac{π}{4} |}$

Etapa 2.3.3.2.7.3

$\frac{π}{4}$ é aproximadamente $0.78539816$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{π}{\frac{π}{4}}$

Etapa 2.3.3.2.7.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$π \frac{4}{π}$

Etapa 2.3.3.2.7.5

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.7.5.1

Cancele o fator comum.

$π \frac{4}{π}$

Etapa 2.3.3.2.7.5.2

Reescreva a expressão.

$4$

Etapa 2.3.3.2.8

O período da função $\tan (\frac{π x}{4})$ é $4$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $4$ radianos nas duas direções.

$x = 4 n, 4 + 4 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $π \sec (\frac{π x}{4}) \tan (\frac{π x}{4}) = 0$ verdadeiro.

$x = 4 n, 4 + 4 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.4

Consolide as respostas.

$x = 4 n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o argumento em $\sec (\frac{π x}{4})$ como igual a $\frac{π}{2} + π n$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\frac{π x}{4} = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Etapa 3.2.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Etapa 3.2.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Simplifique $\frac{4}{π} (\frac{π}{2} + π n)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Etapa 3.2.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Etapa 3.2.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2} + \frac{4}{π} (π n)$

Etapa 3.2.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{2}{π} π + \frac{4}{π} (π n)$

Etapa 3.2.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2}{π} π + \frac{4}{π} (π n)$

Etapa 3.2.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 + \frac{4}{π} (π n)$

Etapa 3.2.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1.4.1

Fatore $π$ de $π n$ .

$x = 2 + \frac{4}{π} (π (n))$

Etapa 3.2.2.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$x = 2 + \frac{4}{π} (π n)$

Etapa 3.2.2.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$x = 2 + 4 n$

Etapa 3.2.3

Reordene $2$ e $4 n$ .

$x = 4 n + 2$

Etapa 3.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

${x | x = 4 n + 2}$ $n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 4

Avalie $\sec (\frac{π x}{4})$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\sec (\frac{π (0)}{4})$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Cancele o fator comum de $0$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Fatore $4$ de $π (0)$ .

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4})$

Etapa 4.1.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4 (1)})$

Etapa 4.1.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\sec (\frac{4 (π \cdot (0))}{4 \cdot 1})$

Etapa 4.1.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\sec (\frac{π \cdot (0)}{1})$

Etapa 4.1.2.1.2.4

Divida $π \cdot (0)$ por $1$ .

$\sec (π \cdot (0))$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $π$ por $0$ .

$\sec (0)$

Etapa 4.1.2.3

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$1$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $4$ por $x$ .

$\sec (\frac{π (4)}{4})$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\sec (\frac{π \cdot 4}{4})$

Etapa 4.2.2.1.2

Divida $π$ por $1$ .

$\sec (π)$

Etapa 4.2.2.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a secante é negativa no segundo quadrante.

$- \sec (0)$

Etapa 4.2.2.3

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(0 + 8 n, 1), (4 + 8 n, - 1)$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5