Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{e^{x} + e^{- x}}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Etapa 1.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} + e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 1.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Etapa 1.1.4

Diferencie.

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Etapa 1.1.4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

Etapa 1.1.4.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

Etapa 1.1.4.3.3

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{4} (e^{x} - e^{- x})$

Etapa 1.1.5

Simplifique.

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Etapa 1.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{4} e^{x} + \frac{1}{4} (- e^{- x})$

Etapa 1.1.5.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $e^{- x}$ .

$\frac{1}{4} e^{x} - \frac{e^{- x}}{4}$

Etapa 1.1.5.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4}$ .

$\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{e^{x}}{4} - \frac{e^{- x}}{4} = 0$

Etapa 2.2

Mova $- \frac{e^{- x}}{4}$ para o lado direito da equação, somando-o aos dois lados.

$\frac{e^{x}}{4} = \frac{e^{- x}}{4}$

Etapa 2.3

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$e^{x} = e^{- x}$

Etapa 2.4

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = - x$

Etapa 2.5

Resolva $x$ .

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Etapa 2.5.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.5.1.1

Some $x$ aos dois lados da equação.

$x + x = 0$

Etapa 2.5.1.2

Some $x$ e $x$ .

$2 x = 0$

Etapa 2.5.2

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.5.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $\frac{e^{x} + e^{- x}}{4}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{e^{0} + e^{- (0)}}{4}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.2.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1 + e^{- (0)}}{4}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1 + e^{0}}{4}$

Etapa 4.1.2.1.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1 + 1}{4}$

Etapa 4.1.2.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2}{4}$

Etapa 4.1.2.2

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 4.1.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Etapa 4.1.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1.2.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.1.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2}$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(0, \frac{1}{2})$

Etapa 5