Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} \ln (x^{2}) + 3$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} \ln (x^{2}) + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x^{2})]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x^{2})$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (\frac{1}{x^{2}} (2 x)) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (\frac{1}{x^{2}} (2 x)) + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2.5

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x^{2} (\frac{2}{x^{2}} x) + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2.6

Combine $\frac{2}{x^{2}}$ e $x$ .

$x^{2} \frac{2 x}{x^{2}} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2.7

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$x^{2} \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} \frac{2}{x} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2.8

Combine $x^{2}$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{x} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2.9

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot x^{2}}{x} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2.10

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.10.1

Fatore $x$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x (2 x)}{x} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.10.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x (2 x)}{x^{1}} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2.10.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2.10.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2.10.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x}{1} + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.2.10.2.5

Divida $2 x$ por $1$ .

$2 x + \ln (x^{2}) (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.1.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + \ln (x^{2}) (2 x) + 0$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Some $2 x + \ln (x^{2}) (2 x)$ e $0$ .

$2 x + \ln (x^{2}) (2 x)$

Etapa 1.1.4.2

Reordene os termos.

$f' (x) = 2 x \ln (x^{2}) + 2 x$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x \ln (x^{2}) + 2 x$ .

$2 x \ln (x^{2}) + 2 x$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x \ln (x^{2}) + 2 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x \ln (x^{2}) + 2 x = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$2 x \ln (x^{2}) = - 2 x$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $2 x \ln (x^{2}) = - 2 x$ por $2 x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $2 x \ln (x^{2}) = - 2 x$ por $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (x^{2})}{2 x} = \frac{- 2 x}{2 x}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x \ln (x^{2})}{2 x} = \frac{- 2 x}{2 x}$

Etapa 2.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x \ln (x^{2})}{x} = \frac{- 2 x}{2 x}$

Etapa 2.3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (x^{2})}{x} = \frac{- 2 x}{2 x}$

Etapa 2.3.2.2.2

Divida $\ln (x^{2})$ por $1$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{- 2 x}{2 x}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{2 (- x)}{2 x}$

Etapa 2.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{2 (- x)}{2 (x)}$

Etapa 2.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (x^{2}) = \frac{2 (- x)}{2 x}$

Etapa 2.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (x^{2}) = \frac{- x}{x}$

Etapa 2.3.3.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln (x^{2}) = \frac{- x}{x}$

Etapa 2.3.3.2.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$\ln (x^{2}) = - 1$

Etapa 2.4

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{- 1}$

Etapa 2.5

Reescreva $\ln (x^{2}) = - 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x^{2}$

Etapa 2.6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Reescreva a equação como $x^{2} = e^{- 1}$ .

$x^{2} = e^{- 1}$

Etapa 2.6.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{e^{- 1}}$

Etapa 2.6.3

Simplifique $\pm \sqrt{e^{- 1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{e}}$

Etapa 2.6.3.2

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{e}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e}}$

Etapa 2.6.3.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e}}$

Etapa 2.6.3.4

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{e}}$ por $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e}} \cdot \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$

Etapa 2.6.3.5

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.5.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{e}}$ por $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e} \sqrt{e}}$

Etapa 2.6.3.5.2

Eleve $\sqrt{e}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{1} \sqrt{e}}$

Etapa 2.6.3.5.3

Eleve $\sqrt{e}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{1} {\sqrt{e}}^{1}}$

Etapa 2.6.3.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.6.3.5.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{2}}$

Etapa 2.6.3.5.6

Reescreva ${\sqrt{e}}^{2}$ como $e$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{e}$ como $e^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.6.3.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.6.3.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.6.3.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.3.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.6.3.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{1}}$

Etapa 2.6.3.5.6.5

Simplifique.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e}$

Etapa 2.6.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{e}}{e}$

Etapa 2.6.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{e}}{e}$

Etapa 2.6.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{e}}{e}, - \frac{\sqrt{e}}{e}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $\frac{\sqrt{e}}{e}, - \frac{\sqrt{e}}{e}$ .

$\frac{\sqrt{e}}{e}, - \frac{\sqrt{e}}{e}$

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina o argumento em $\ln (x^{2})$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} \leq 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{0}$

Etapa 4.2.2

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | \leq \sqrt{0}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Simplifique $\sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{0^{2}}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | \leq | 0 |$

Etapa 4.2.2.2.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $0$ é $0$ .

$| x | \leq 0$

Etapa 4.2.3

Escreva $| x | \leq 0$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 4.2.3.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x \leq 0$

Etapa 4.2.3.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 4.2.3.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x \leq 0$

Etapa 4.2.3.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

Etapa 4.2.4

Encontre a intersecção de $x \leq 0$ e $x \geq 0$ .

$x = 0$

Etapa 4.2.5

Resolva $- x \leq 0$ quando $x < 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1

Divida cada termo em $- x \leq 0$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1.1

Divida cada termo em $- x \leq 0$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.2.5.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.2.5.1.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Etapa 4.2.5.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.5.1.3.1

Divida $0$ por $- 1$ .

$x \geq 0$

Etapa 4.2.5.2

Encontre a intersecção de $x \geq 0$ e $x < 0$ .

Nenhuma solução

Etapa 4.2.6

Encontre a união das soluções.

$x = 0$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e}) \cup (- \frac{\sqrt{e}}{e}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{e}}{e}) \cup (\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.60653067$ na expressão.

$f' (- 1.60653067) = 2 (- 1.60653067) \ln ({(- 1.60653067)}^{2}) + 2 (- 1.60653067)$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 1.60653067$ .

$f' (- 1.60653067) = - 3.21306134 \ln ({(- 1.60653067)}^{2}) + 2 (- 1.60653067)$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $- 1.60653067$ à potência de $2$ .

$f' (- 1.60653067) = - 3.21306134 \ln (2.58094079) + 2 (- 1.60653067)$

Etapa 6.2.1.3

Simplifique $- 3.21306134 \ln (2.58094079)$ movendo $3.21306134$ para dentro do logaritmo.

$f' (- 1.60653067) = - \ln ({2.58094079}^{3.21306134}) + 2 (- 1.60653067)$

Etapa 6.2.1.4

Eleve $2.58094079$ à potência de $3.21306134$ .

$f' (- 1.60653067) = - \ln (21.04108386) + 2 (- 1.60653067)$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $2$ por $- 1.60653067$ .

$f' (- 1.60653067) = - \ln (21.04108386) - 3.21306134$

Etapa 6.2.2

Subtraia $3.21306134$ de $- \ln (21.04108386)$ .

$f' (- 1.60653067) = - 6.25953824$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 6.25953824$ .

$- 6.25953824$

Etapa 6.3

Em $x = - 1.60653067$ , a derivada é $- 6.25953824$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 0.60653067, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.30326533$ na expressão.

$f' (- 0.30326533) = 2 (- 0.30326533) \ln ({(- 0.30326533)}^{2}) + 2 (- 0.30326533)$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 0.30326533$ .

$f' (- 0.30326533) = - 0.60653067 \ln ({(- 0.30326533)}^{2}) + 2 (- 0.30326533)$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $- 0.30326533$ à potência de $2$ .

$f' (- 0.30326533) = - 0.60653067 \ln (0.09196986) + 2 (- 0.30326533)$

Etapa 7.2.1.3

Simplifique $- 0.60653067 \ln (0.09196986)$ movendo $0.60653067$ para dentro do logaritmo.

$f' (- 0.30326533) = - \ln ({0.09196986}^{0.60653067}) + 2 (- 0.30326533)$

Etapa 7.2.1.4

Eleve $0.09196986$ à potência de $0.60653067$ .

$f' (- 0.30326533) = - \ln (0.2351902) + 2 (- 0.30326533)$

Etapa 7.2.1.5

Multiplique $2$ por $- 0.30326533$ .

$f' (- 0.30326533) = - \ln (0.2351902) - 0.60653067$

Etapa 7.2.2

Subtraia $0.60653067$ de $- \ln (0.2351902)$ .

$f' (- 0.30326533) = 0.84083002$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $0.84083002$ .

$0.84083002$

Etapa 7.3

Em $x = - 0.30326533$ , a derivada é $0.84083002$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 0.60653067, 0)$ .

Acréscimo em $(- \frac{\sqrt{e}}{e}, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, \frac{\sqrt{e}}{e})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $0.30326533$ na expressão.

$f' (0.30326533) = 2 (0.30326533) \ln ({(0.30326533)}^{2}) + 2 (0.30326533)$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Multiplique $2$ por $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = 0.60653067 \ln ({(0.30326533)}^{2}) + 2 (0.30326533)$

Etapa 8.2.1.2

Eleve $0.30326533$ à potência de $2$ .

$f' (0.30326533) = 0.60653067 \ln (0.09196986) + 2 (0.30326533)$

Etapa 8.2.1.3

Simplifique $0.60653067 \ln (0.09196986)$ movendo $0.60653067$ para dentro do logaritmo.

$f' (0.30326533) = \ln ({0.09196986}^{0.60653067}) + 2 (0.30326533)$

Etapa 8.2.1.4

Eleve $0.09196986$ à potência de $0.60653067$ .

$f' (0.30326533) = \ln (0.2351902) + 2 (0.30326533)$

Etapa 8.2.1.5

Multiplique $2$ por $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = \ln (0.2351902) + 0.60653067$

Etapa 8.2.2

Some $\ln (0.2351902)$ e $0.60653067$ .

$f' (0.30326533) = - 0.84083002$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $- 0.84083002$ .

$- 0.84083002$

Etapa 8.3

Em $x = 0.30326533$ , a derivada é $- 0.84083002$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, \frac{\sqrt{e}}{e})$ .

Decréscimo em $(0, \frac{\sqrt{e}}{e})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $1.60653067$ na expressão.

$f' (1.60653067) = 2 (1.60653067) \ln ({(1.60653067)}^{2}) + 2 (1.60653067)$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.2.1.1

Multiplique $2$ por $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 3.21306134 \ln ({(1.60653067)}^{2}) + 2 (1.60653067)$

Etapa 9.2.1.2

Eleve $1.60653067$ à potência de $2$ .

$f' (1.60653067) = 3.21306134 \ln (2.58094079) + 2 (1.60653067)$

Etapa 9.2.1.3

Simplifique $3.21306134 \ln (2.58094079)$ movendo $3.21306134$ para dentro do logaritmo.

$f' (1.60653067) = \ln ({2.58094079}^{3.21306134}) + 2 (1.60653067)$

Etapa 9.2.1.4

Eleve $2.58094079$ à potência de $3.21306134$ .

$f' (1.60653067) = \ln (21.04108386) + 2 (1.60653067)$

Etapa 9.2.1.5

Multiplique $2$ por $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = \ln (21.04108386) + 3.21306134$

Etapa 9.2.2

Some $\ln (21.04108386)$ e $3.21306134$ .

$f' (1.60653067) = 6.25953824$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $6.25953824$ .

$6.25953824$

Etapa 9.3

Em $x = 1.60653067$ , a derivada é $6.25953824$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 10

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \frac{\sqrt{e}}{e}, 0), (\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e}), (0, \frac{\sqrt{e}}{e})$

Etapa 11