Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 1.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 1.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x) = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 2.2

Fatore $2 \sin (x)$ de $- 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $2 \sin (x)$ de $- 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$2 \sin (x) (- \cos (x)) - 2 \sin (x) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $2 \sin (x)$ de $- 2 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) (- \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $2 \sin (x)$ de $2 \sin (x) (- \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 1$ .

$2 \sin (x) (- \cos (x) - 1) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 2.4

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.4.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 2.4.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 2.4.2.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 2.4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.4.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.4.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.4.2.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.5

Defina $- \cos (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $- \cos (x) - 1$ como igual a $0$ .

$- \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $- \cos (x) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- \cos (x) = 1$

Etapa 2.5.2.2

Divida cada termo em $- \cos (x) = 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.2.1

Divida cada termo em $- \cos (x) = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 2.5.2.2.2.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{- 1}$

Etapa 2.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.2.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$\cos (x) = - 1$

Etapa 2.5.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- 1)$

Etapa 2.5.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.4.1

O valor exato de $\arccos (- 1)$ é $π$ .

$x = π$

Etapa 2.5.2.5

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - π$

Etapa 2.5.2.6

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Etapa 2.5.2.7

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 2.5.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.5.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.5.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.5.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.5.2.8

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 \sin (x) (- \cos (x) - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.7

Consolide as respostas.

$x = π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $π n$ .

$π n$

Etapa 4

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x) - 2 \sin (x)$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = 2 \cos (x) + \cos^{2} (x)$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ .

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, π n)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $π n - 1$ na expressão.

$f' (π n - 1) = - 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$

Etapa 5.2

A resposta final é $- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$ .

$- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$

Etapa 5.3

Simplifique.

$- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$

Etapa 5.4

Em $x = π n - 1$ , a derivada é $- 2 \cos (π n - 1) \sin (π n - 1) - 2 \sin (π n - 1)$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, π n)$ .

Decréscimo em $(- \infty, π n)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(π n, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $π n + 1$ na expressão.

$f' (π n + 1) = - 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$

Etapa 6.2

A resposta final é $- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$ .

$- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$

Etapa 6.4

Em $x = π n + 1$ , a derivada é $- 2 \cos (π n + 1) \sin (π n + 1) - 2 \sin (π n + 1)$ . Por ser negativa, a função diminui em $(π n, \infty)$ .

Decréscimo em $(π n, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Decréscimo em: $(- \infty, π n), (π n, \infty)$

Etapa 8