Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.1.3.1

Combine $x^{4}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.3.2

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x$ .

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Etapa 1.1.3.2.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.3.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.3.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.3.2.2.5

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3})$

Etapa 1.1.3.4

Reordene os termos.

$f' (x) = x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$ .

$x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{3} + 4 x^{3} \ln (x) = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{3} + 4 x^{3} \ln (x) = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $x^{3}$ dos dois lados da equação.

$4 x^{3} \ln (x) = - x^{3}$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $4 x^{3} \ln (x) = - x^{3}$ por $4 x^{3}$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $4 x^{3} \ln (x) = - x^{3}$ por $4 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} \ln (x)}{4 x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{3} \ln (x)}{4 x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

Etapa 2.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

Etapa 2.3.2.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

Etapa 2.3.2.2.2

Divida $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 2.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\ln (x) = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

Etapa 2.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\ln (x) = \frac{- 1}{4}$

Etapa 2.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (x) = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.4

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{4}}$

Etapa 2.5

Reescreva $\ln (x) = - \frac{1}{4}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{4}} = x$

Etapa 2.6

Resolva $x$ .

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Etapa 2.6.1

Reescreva a equação como $x = e^{- \frac{1}{4}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{4}}$

Etapa 2.6.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Defina o argumento em $\ln (x)$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x \leq 0$

Etapa 4.2

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}, \infty)$

Etapa 6

Exclua os intervalos que não estão no domínio.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.3894004$ na expressão.

$f' (0.3894004) = {(0.3894004)}^{3} + 4 {(0.3894004)}^{3} \ln (0.3894004)$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $0.3894004$ à potência de $3$ .

$f' (0.3894004) = 0.05904582 + 4 {(0.3894004)}^{3} \ln (0.3894004)$

Etapa 7.2.1.2

Eleve $0.3894004$ à potência de $3$ .

$f' (0.3894004) = 0.05904582 + 4 \cdot (0.05904582 \ln (0.3894004))$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $4$ por $0.05904582$ .

$f' (0.3894004) = 0.05904582 + 0.23618329 \ln (0.3894004)$

Etapa 7.2.1.4

Simplifique $0.23618329 \ln (0.3894004)$ movendo $0.23618329$ para dentro do logaritmo.

$f' (0.3894004) = 0.05904582 + \ln ({0.3894004}^{0.23618329})$

Etapa 7.2.1.5

Eleve $0.3894004$ à potência de $0.23618329$ .

$f' (0.3894004) = 0.05904582 + \ln (0.80031042)$

Etapa 7.2.2

Some $0.05904582$ e $\ln (0.80031042)$ .

$f' (0.3894004) = - 0.16370977$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 0.16370977$ .

$- 0.16370977$

Etapa 7.3

Em $x = 0.3894004$ , a derivada é $- 0.16370977$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$ .

Decréscimo em $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Exclua os intervalos que não estão no domínio.

$(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}), (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}, \infty)$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $1.7788008$ na expressão.

$f' (1.7788008) = {(1.7788008)}^{3} + 4 {(1.7788008)}^{3} \ln (1.7788008)$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Eleve $1.7788008$ à potência de $3$ .

$f' (1.7788008) = 5.62836104 + 4 {(1.7788008)}^{3} \ln (1.7788008)$

Etapa 9.2.1.2

Eleve $1.7788008$ à potência de $3$ .

$f' (1.7788008) = 5.62836104 + 4 \cdot (5.62836104 \ln (1.7788008))$

Etapa 9.2.1.3

Multiplique $4$ por $5.62836104$ .

$f' (1.7788008) = 5.62836104 + 22.51344416 \ln (1.7788008)$

Etapa 9.2.1.4

Simplifique $22.51344416 \ln (1.7788008)$ movendo $22.51344416$ para dentro do logaritmo.

$f' (1.7788008) = 5.62836104 + \ln ({1.7788008}^{22.51344416})$

Etapa 9.2.1.5

Eleve $1.7788008$ à potência de $22.51344416$ .

$f' (1.7788008) = 5.62836104 + \ln (427786.78620072)$

Etapa 9.2.2

Some $5.62836104$ e $\ln (427786.78620072)$ .

$f' (1.7788008) = 18.59474122$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $18.59474122$ .

$18.59474122$

Etapa 9.3

Em $x = 1.7788008$ , a derivada é $18.59474122$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 10

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}, \infty)$

Decréscimo em: $(0, \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Etapa 11