Cálculo Exemplos

$f (x) = 0.7 x^{3} + {1.7}^{- 1.8 x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $0.7 x^{3} + {1.7}^{- 1.8 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [0.7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [0.7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [0.7 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $0.7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0.7 x^{3}$ em relação a $x$ é $0.7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0.7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0.7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $0.7$ .

$2.1 x^{2} + \frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [{1.7}^{- 1.8 x}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = {1.7}^{x}$ e $g (x) = - 1.8 x$ .

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Etapa 1.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 1.8 x$ .

$2.1 x^{2} + \frac{d}{d u} [{1.7}^{u}] \frac{d}{d x} [- 1.8 x]$

Etapa 1.1.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $1.7$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{u} \ln (1.7) \frac{d}{d x} [- 1.8 x]$

Etapa 1.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 1.8 x$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) \frac{d}{d x} [- 1.8 x]$

Etapa 1.1.3.2

Como $- 1.8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1.8 x$ em relação a $x$ é $- 1.8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) (- 1.8 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) (- 1.8 \cdot 1)$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $- 1.8$ por $1$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \ln (1.7) \cdot - 1.8$

Etapa 1.1.3.5

Multiplique $- 1.8$ por $\ln (1.7)$ .

$2.1 x^{2} + {1.7}^{- 1.8 x} \cdot - 0.95513085$

Etapa 1.1.3.6

Mova $- 0.95513085$ para a esquerda de ${1.7}^{- 1.8 x}$ .

$f' (x) = 2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x}$ .

$2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2.1 x^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 x} = 0$

Etapa 2.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx - 3.36689747, - 1.19117954, 0.52487955$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $- 3.36689747, - 1.19117954, 0.52487955$ .

$- 3.36689747, - 1.19117954, 0.52487955$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 3.36689747) \cup (- 3.36689747, - 1.19117954) \cup (- 1.19117954, 0.52487955) \cup (0.52487955, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 3.36689747)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 4.3668976$ na expressão.

$f' (- 4.3668976) = 2.1 {(- 4.3668976)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 4.3668976}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 4.3668976$ à potência de $2$ .

$f' (- 4.3668976) = 2.1 \cdot 19.06979464 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 4.3668976}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $2.1$ por $19.06979464$ .

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 4.3668976}$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 1.8$ por $- 4.3668976$ .

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{7.86041568}$

Etapa 5.2.1.4

Eleve $1.7$ à potência de $7.86041568$ .

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 0.95513085 \cdot 64.77751969$

Etapa 5.2.1.5

Multiplique $- 0.95513085$ por $64.77751969$ .

$f' (- 4.3668976) = 40.04656876 - 61.87100757$

Etapa 5.2.2

Subtraia $61.87100757$ de $40.04656876$ .

$f' (- 4.3668976) = - 21.8244388$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 21.8244388$ .

$- 21.8244388$

Etapa 5.3

Em $x = - 4.3668976$ , a derivada é $- 21.8244388$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - 3.36689747)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 3.36689747)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 3.3668976, - 1.19117954)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 2.27903855$ na expressão.

$f' (- 2.27903855) = 2.1 {(- 2.27903855)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 2.27903855}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 2.27903855$ à potência de $2$ .

$f' (- 2.27903855) = 2.1 \cdot 5.19401671 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 2.27903855}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $2.1$ por $5.19401671$ .

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 2.27903855}$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 1.8$ por $- 2.27903855$ .

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{4.10226939}$

Etapa 6.2.1.4

Eleve $1.7$ à potência de $4.10226939$ .

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 0.95513085 \cdot 8.81786724$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $- 0.95513085$ por $8.81786724$ .

$f' (- 2.27903855) = 10.90743509 - 8.42221705$

Etapa 6.2.2

Subtraia $8.42221705$ de $10.90743509$ .

$f' (- 2.27903855) = 2.48521804$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $2.48521804$ .

$2.48521804$

Etapa 6.3

Em $x = - 2.27903855$ , a derivada é $2.48521804$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 3.3668976, - 1.19117954)$ .

Acréscimo em $(- 3.36689747, - 1.19117954)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 1.1911795, 0.52487955)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.33314995$ na expressão.

$f' (- 0.33314995) = 2.1 {(- 0.33314995)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 0.33314995}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 0.33314995$ à potência de $2$ .

$f' (- 0.33314995) = 2.1 \cdot 0.11098888 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 0.33314995}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $2.1$ por $0.11098888$ .

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot - 0.33314995}$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 1.8$ por $- 0.33314995$ .

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{0.59966991}$

Etapa 7.2.1.4

Eleve $1.7$ à potência de $0.59966991$ .

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 0.95513085 \cdot 1.37465363$

Etapa 7.2.1.5

Multiplique $- 0.95513085$ por $1.37465363$ .

$f' (- 0.33314995) = 0.23307666 - 1.31297409$

Etapa 7.2.2

Subtraia $1.31297409$ de $0.23307666$ .

$f' (- 0.33314995) = - 1.07989742$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 1.07989742$ .

$- 1.07989742$

Etapa 7.3

Em $x = - 0.33314995$ , a derivada é $- 1.07989742$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 1.1911795, 0.52487955)$ .

Decréscimo em $(- 1.19117954, 0.52487955)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0.52487955, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1.5248796$ na expressão.

$f' (1.5248796) = 2.1 {(1.5248796)}^{2} - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot 1.5248796}$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Eleve $1.5248796$ à potência de $2$ .

$f' (1.5248796) = 2.1 \cdot 2.32525779 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot 1.5248796}$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $2.1$ por $2.32525779$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 1.8 \cdot 1.5248796}$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $- 1.8$ por $1.5248796$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot {1.7}^{- 2.74478328}$

Etapa 8.2.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot \frac{1}{{1.7}^{2.74478328}}$

Etapa 8.2.1.5

Eleve $1.7$ à potência de $2.74478328$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot \frac{1}{4.29074145}$

Etapa 8.2.1.6

Divida $1$ por $4.29074145$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.95513085 \cdot 0.23305995$

Etapa 8.2.1.7

Multiplique $- 0.95513085$ por $0.23305995$ .

$f' (1.5248796) = 4.88304136 - 0.22260275$

Etapa 8.2.2

Subtraia $0.22260275$ de $4.88304136$ .

$f' (1.5248796) = 4.66043861$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $4.66043861$ .

$4.66043861$

Etapa 8.3

Em $x = 1.5248796$ , a derivada é $4.66043861$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0.52487955, \infty)$ .

Acréscimo em $(0.52487955, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- 3.36689747, - 1.19117954), (0.52487955, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, - 3.36689747), (- 1.19117954, 0.52487955)$

Etapa 10