Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 16}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 7 x + 12$ e $g (x) = x^{2} - 16$ .

$\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x + 12] - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 7 x + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7 + \frac{d}{d x} [12]) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7 + 0) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.7

Some $2 x - 7$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.10

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.11.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x + 12) (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.11.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - 2 (x^{2} - 7 x + 12) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) + (- 2 x^{2} - 2 (- 7 x) - 2 \cdot 12) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x - 7) - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Expanda $(x^{2} - 16) (2 x - 7)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.3.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} (2 x - 7) - 16 (2 x - 7) - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x - 7) - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.3.3.1.2.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.2.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.1.3.3.1.2.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.2.2.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 7 - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.2.3

Mova $- 7$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 \cdot x^{2} - 16 (2 x) - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.2.4

Multiplique $2$ por $- 16$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x - 16 \cdot - 7 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.2.5

Multiplique $- 16$ por $- 7$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{2} x - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.3.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.1.3.3.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 (x^{1} x^{2}) - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} - 2 (- 7 x) x - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.3.3.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} - 2 (- 7 (x \cdot x)) - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} - 2 (- 7 x^{2}) - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.5

Multiplique $- 7$ por $- 2$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 2 \cdot 12 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.1.6

Multiplique $- 2$ por $12$ .

$\frac{2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 24 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.2

Combine os termos opostos em $2 x^{3} - 7 x^{2} - 32 x + 112 - 2 x^{3} + 14 x^{2} - 24 x$ .

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Etapa 1.1.3.3.2.1

Subtraia $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{- 7 x^{2} - 32 x + 112 + 0 + 14 x^{2} - 24 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.2.2

Some $- 7 x^{2} - 32 x + 112$ e $0$ .

$\frac{- 7 x^{2} - 32 x + 112 + 14 x^{2} - 24 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.3

Some $- 7 x^{2}$ e $14 x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2} - 32 x + 112 - 24 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3.4

Subtraia $24 x$ de $- 32 x$ .

$\frac{7 x^{2} - 56 x + 112}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.3.4.1

Fatore $7$ de $7 x^{2} - 56 x + 112$ .

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Etapa 1.1.3.4.1.1

Fatore $7$ de $7 x^{2}$ .

$\frac{7 (x^{2}) - 56 x + 112}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.1.2

Fatore $7$ de $- 56 x$ .

$\frac{7 (x^{2}) + 7 (- 8 x) + 112}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.1.3

Fatore $7$ de $112$ .

$\frac{7 x^{2} + 7 (- 8 x) + 7 \cdot 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.1.4

Fatore $7$ de $7 x^{2} + 7 (- 8 x)$ .

$\frac{7 (x^{2} - 8 x) + 7 \cdot 16}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.1.5

Fatore $7$ de $7 (x^{2} - 8 x) + 7 \cdot 16$ .

$\frac{7 (x^{2} - 8 x + 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.2

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 1.1.3.4.2.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{7 (x^{2} - 8 x + 4^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.2.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Etapa 1.1.3.4.2.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{7 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.2.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 4$ .

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.3.5.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 4$ .

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.3

Aplique a regra do produto a $(x + 4) (x - 4)$ .

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6

Cancele o fator comum de ${(x - 4)}^{2}$ .

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Etapa 1.1.3.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 {(x - 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.6.2

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$7 = 0$

Etapa 2.3

Como $7 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 3

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

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Etapa 4.2.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 4.2.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = \frac{x^{2} - 7 x + 12}{x^{2} - 16}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$ .

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 4)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f' (- 5) = \frac{7}{{((- 5) + 4)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.1.1

Some $- 5$ e $4$ .

$f' (- 5) = \frac{7}{{(- 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 5) = \frac{7}{1}$

Etapa 6.2.2

Divida $7$ por $1$ .

$f' (- 5) = 7$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $7$ .

$7$

Etapa 6.3

Em $x = - 5$ , a derivada é $7$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 4)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 4)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 4, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f' (- 3) = \frac{7}{{((- 3) + 4)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.1.1

Some $- 3$ e $4$ .

$f' (- 3) = \frac{7}{1^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (- 3) = \frac{7}{1}$

Etapa 7.2.2

Divida $7$ por $1$ .

$f' (- 3) = 7$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $7$ .

$7$

Etapa 7.3

Em $x = - 3$ , a derivada é $7$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 4, \infty)$ .

Acréscimo em $(- 4, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 4), (- 4, \infty)$

Etapa 9