Cálculo Exemplos

$f (x) = 10 - \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 - \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}]$ .

$\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}]$

Etapa 1.1.1.2

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}$ em relação a $x$ é $- 20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2} - 52 x + 179}]$ .

$0 - 20 \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2} - 52 x + 179}]$

Etapa 1.1.2.2

Reescreva $\frac{1}{4 x^{2} - 52 x + 179}$ como ${(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 1}$ .

$0 - 20 \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 1}]$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 4 x^{2} - 52 x + 179$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x^{2} - 52 x + 179$ .

$0 - 20 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 52 x + 179])$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$0 - 20 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 52 x + 179])$

Etapa 1.1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x^{2} - 52 x + 179$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 52 x + 179])$

Etapa 1.1.2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} - 52 x + 179$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 52 x] + \frac{d}{d x} [179]$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 52 x] + \frac{d}{d x} [179]))$

Etapa 1.1.2.5

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 52 x] + \frac{d}{d x} [179]))$

Etapa 1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 52 x] + \frac{d}{d x} [179]))$

Etapa 1.1.2.7

Como $- 52$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 52 x$ em relação a $x$ é $- 52 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (4 (2 x) - 52 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [179]))$

Etapa 1.1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (4 (2 x) - 52 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [179]))$

Etapa 1.1.2.9

Como $179$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $179$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (4 (2 x) - 52 \cdot 1 + 0))$

Etapa 1.1.2.10

Multiplique $2$ por $4$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (8 x - 52 \cdot 1 + 0))$

Etapa 1.1.2.11

Multiplique $- 52$ por $1$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (8 x - 52 + 0))$

Etapa 1.1.2.12

Some $8 x - 52$ e $0$ .

$0 - 20 (- {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (8 x - 52))$

Etapa 1.1.2.13

Multiplique $- 1$ por $- 20$ .

$0 + 20 {(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{- 2} (8 x - 52)$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 20 \frac{1}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} (8 x - 52)$

Etapa 1.1.3.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.2.1

Combine $20$ e $\frac{1}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$ .

$0 + \frac{20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} (8 x - 52)$

Etapa 1.1.3.2.2

Some $0$ e $\frac{20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} (8 x - 52)$ .

$\frac{20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} (8 x - 52)$

Etapa 1.1.3.3

Reordene os fatores de $\frac{20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} (8 x - 52)$ .

$(8 x - 52) \frac{20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $8 x - 52$ por $\frac{20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$ .

$\frac{(8 x - 52) \cdot 20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.5.1

Fatore $4$ de $8 x - 52$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.5.1.1

Fatore $4$ de $8 x$ .

$\frac{(4 (2 x) - 52) \cdot 20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.1.2

Fatore $4$ de $- 52$ .

$\frac{(4 (2 x) + 4 (- 13)) \cdot 20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.1.3

Fatore $4$ de $4 (2 x) + 4 (- 13)$ .

$\frac{4 (2 x - 13) \cdot 20}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.5.2

Multiplique $20$ por $4$ .

$f' (x) = \frac{80 (2 x - 13)}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{80 (2 x - 13)}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$ .

$\frac{80 (2 x - 13)}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{80 (2 x - 13)}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{80 (2 x - 13)}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$80 (2 x - 13) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $80 (2 x - 13) = 0$ por $80$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Divida cada termo em $80 (2 x - 13) = 0$ por $80$ .

$\frac{80 (2 x - 13)}{80} = \frac{0}{80}$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $80$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{80 (2 x - 13)}{80} = \frac{0}{80}$

Etapa 2.3.1.2.1.2

Divida $2 x - 13$ por $1$ .

$2 x - 13 = \frac{0}{80}$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1

Divida $0$ por $80$ .

$2 x - 13 = 0$

Etapa 2.3.2

Some $13$ aos dois lados da equação.

$2 x = 13$

Etapa 2.3.3

Divida cada termo em $2 x = 13$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Divida cada termo em $2 x = 13$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{13}{2}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{13}{2}$

Etapa 2.3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{13}{2}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $\frac{13}{2}$ .

$\frac{13}{2}$

Etapa 4

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = \frac{80 (2 x - 13)}{{(4 x^{2} - 52 x + 179)}^{2}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = 10 - \frac{20}{4 x^{2} - 52 x + 179}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, \frac{13}{2}) \cup (\frac{13}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{13}{2}) \cup (\frac{13}{2}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{13}{2})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{11}{2}$ na expressão.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 (2 (\frac{11}{2}) - 13)}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 (2 (\frac{11}{2}) - 13)}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 (11 - 13)}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.2

Subtraia $13$ de $11$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{11}{2}$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(4 (\frac{11^{2}}{2^{2}}) - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Eleve $11$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(4 (\frac{121}{2^{2}}) - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(4 (\frac{121}{4}) - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(4 (\frac{121}{4}) - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(121 - 52 (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.5.1

Fatore $2$ de $- 52$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(121 + 2 (- 26) (\frac{11}{2}) + 179)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.5.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(121 + 2 \cdot (- 26 (\frac{11}{2})) + 179)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.5.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(121 - 26 \cdot 11 + 179)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.6

Multiplique $- 26$ por $11$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(121 - 286 + 179)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.7

Subtraia $286$ de $121$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{{(- 165 + 179)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.8

Some $- 165$ e $179$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{14^{2}}$

Etapa 5.2.2.9

Eleve $14$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{80 \cdot - 2}{196}$

Etapa 5.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique $80$ por $- 2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{- 160}{196}$

Etapa 5.2.3.2

Cancele o fator comum de $- 160$ e $196$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.1

Fatore $4$ de $- 160$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{4 (- 40)}{196}$

Etapa 5.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.2.2.1

Fatore $4$ de $196$ .

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{4 \cdot - 40}{4 \cdot 49}$

Etapa 5.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{4 \cdot - 40}{4 \cdot 49}$

Etapa 5.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{11}{2}) = \frac{- 40}{49}$

Etapa 5.2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{40}{49}$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $- \frac{40}{49}$ .

$- \frac{40}{49}$

Etapa 5.3

Em $x = \frac{11}{2}$ , a derivada é $- \frac{40}{49}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, \frac{13}{2})$ .

Decréscimo em $(- \infty, \frac{13}{2})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(\frac{13}{2}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{15}{2}$ na expressão.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 (2 (\frac{15}{2}) - 13)}{{(4 {(\frac{15}{2})}^{2} - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 (2 (\frac{15}{2}) - 13)}{{(4 {(\frac{15}{2})}^{2} - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 (15 - 13)}{{(4 {(\frac{15}{2})}^{2} - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Subtraia $13$ de $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(4 {(\frac{15}{2})}^{2} - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{15}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(4 (\frac{15^{2}}{2^{2}}) - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Eleve $15$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(4 (\frac{225}{2^{2}}) - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(4 (\frac{225}{4}) - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(4 (\frac{225}{4}) - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(225 - 52 (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.5.1

Fatore $2$ de $- 52$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(225 + 2 (- 26) (\frac{15}{2}) + 179)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.5.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(225 + 2 \cdot (- 26 (\frac{15}{2})) + 179)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.5.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(225 - 26 \cdot 15 + 179)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.6

Multiplique $- 26$ por $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(225 - 390 + 179)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.7

Subtraia $390$ de $225$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{{(- 165 + 179)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.8

Some $- 165$ e $179$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{14^{2}}$

Etapa 6.2.2.9

Eleve $14$ à potência de $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{80 \cdot 2}{196}$

Etapa 6.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Multiplique $80$ por $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{160}{196}$

Etapa 6.2.3.2

Cancele o fator comum de $160$ e $196$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.1

Fatore $4$ de $160$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{4 (40)}{196}$

Etapa 6.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.2.1

Fatore $4$ de $196$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{4 \cdot 40}{4 \cdot 49}$

Etapa 6.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{4 \cdot 40}{4 \cdot 49}$

Etapa 6.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{40}{49}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $\frac{40}{49}$ .

$\frac{40}{49}$

Etapa 6.3

Em $x = \frac{15}{2}$ , a derivada é $\frac{40}{49}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(\frac{13}{2}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\frac{13}{2}, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(\frac{13}{2}, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, \frac{13}{2})$

Etapa 8