Cálculo Exemplos

$c (x) = 0.05 x + 20 + \frac{125}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $0.05 x + 20 + \frac{125}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [0.05 x] + \frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [\frac{125}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [0.05 x] + \frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [\frac{125}{x}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [0.05 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $0.05$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0.05 x$ em relação a $x$ é $0.05 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0.05 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [\frac{125}{x}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0.05 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [\frac{125}{x}]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $0.05$ por $1$ .

$0.05 + \frac{d}{d x} [20] + \frac{d}{d x} [\frac{125}{x}]$

Etapa 1.1.3

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20$ em relação a $x$ é $0$ .

$0.05 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{125}{x}]$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{125}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $125$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{125}{x}$ em relação a $x$ é $125 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0.05 + 0 + 125 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.1.4.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$0.05 + 0 + 125 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.1.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$0.05 + 0 + 125 (- x^{- 2})$

Etapa 1.1.4.4

Multiplique $- 1$ por $125$ .

$0.05 + 0 - 125 x^{- 2}$

Etapa 1.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0.05 + 0 - 125 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.2.1

Some $0.05$ e $0$ .

$0.05 - 125 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.5.2.2

Combine $- 125$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0.05 + \frac{- 125}{x^{2}}$

Etapa 1.1.5.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0.05 - \frac{125}{x^{2}}$

Etapa 1.1.5.3

Reordene os termos.

$f' (x) = - \frac{125}{x^{2}} + 0.05$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $c (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{125}{x^{2}} + 0.05$ .

$- \frac{125}{x^{2}} + 0.05$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{125}{x^{2}} + 0.05 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{125}{x^{2}} + 0.05 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $0.05$ dos dois lados da equação.

$- \frac{125}{x^{2}} = - 0.05$

Etapa 2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{2}, 1$

Etapa 2.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 2.4

Multiplique cada termo em $- \frac{125}{x^{2}} = - 0.05$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Multiplique cada termo em $- \frac{125}{x^{2}} = - 0.05$ por $x^{2}$ .

$- \frac{125}{x^{2}} x^{2} = - 0.05 x^{2}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 2.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{125}{x^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- 125}{x^{2}} x^{2} = - 0.05 x^{2}$

Etapa 2.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 125}{x^{2}} x^{2} = - 0.05 x^{2}$

Etapa 2.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 125 = - 0.05 x^{2}$

Etapa 2.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Reescreva a equação como $- 0.05 x^{2} = - 125$ .

$- 0.05 x^{2} = - 125$

Etapa 2.5.2

Divida cada termo em $- 0.05 x^{2} = - 125$ por $- 0.05$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Divida cada termo em $- 0.05 x^{2} = - 125$ por $- 0.05$ .

$\frac{- 0.05 x^{2}}{- 0.05} = \frac{- 125}{- 0.05}$

Etapa 2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 0.05$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 0.05 x^{2}}{- 0.05} = \frac{- 125}{- 0.05}$

Etapa 2.5.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 125}{- 0.05}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1

Divida $- 125$ por $- 0.05$ .

$x^{2} = 2500$

Etapa 2.5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{2500}$

Etapa 2.5.4

Simplifique $\pm \sqrt{2500}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Reescreva $2500$ como $50^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{50^{2}}$

Etapa 2.5.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 50$

Etapa 2.5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 50$

Etapa 2.5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 50$

Etapa 2.5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 50, - 50$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $50, - 50$ .

$50, - 50$

Etapa 4

Encontre onde a derivada é indefinida.

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Etapa 4.1

Defina o denominador em $\frac{125}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 50) \cup (- 50, 0) \cup (0, 50) \cup (50, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 50)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 51$ na expressão.

$c' (- 51) = - \frac{125}{{(- 51)}^{2}} + 0.05$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Eleve $- 51$ à potência de $2$ .

$c' (- 51) = - \frac{125}{2601} + 0.05$

Etapa 6.2.2

Para escrever $0.05$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2601}{2601}$ .

$c' (- 51) = - \frac{125}{2601} + 0.05 \cdot \frac{2601}{2601}$

Etapa 6.2.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Combine $0.05$ e $\frac{2601}{2601}$ .

$c' (- 51) = - \frac{125}{2601} + \frac{0.05 \cdot 2601}{2601}$

Etapa 6.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$c' (- 51) = \frac{- 125 + 0.05 \cdot 2601}{2601}$

Etapa 6.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1

Multiplique $0.05$ por $2601$ .

$c' (- 51) = \frac{- 125 + 130.05}{2601}$

Etapa 6.2.4.2

Some $- 125$ e $130.05$ .

$c' (- 51) = \frac{5.05}{2601}$

Etapa 6.2.5

Divida $5.05$ por $2601$ .

$c' (- 51) = 0.00194156$

Etapa 6.2.6

A resposta final é $0.00194156$ .

$0.00194156$

Etapa 6.3

Em $x = - 51$ , a derivada é $0.00194156$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 50)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 50)$ , pois $c' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 50, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 25$ na expressão.

$c' (- 25) = - \frac{125}{{(- 25)}^{2}} + 0.05$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 25$ à potência de $2$ .

$c' (- 25) = - \frac{125}{625} + 0.05$

Etapa 7.2.1.2

Cancele o fator comum de $125$ e $625$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.2.1

Fatore $125$ de $125$ .

$c' (- 25) = - \frac{125 (1)}{625} + 0.05$

Etapa 7.2.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.2.2.1

Fatore $125$ de $625$ .

$c' (- 25) = - \frac{125 \cdot 1}{125 \cdot 5} + 0.05$

Etapa 7.2.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$c' (- 25) = - \frac{125 \cdot 1}{125 \cdot 5} + 0.05$

Etapa 7.2.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$c' (- 25) = - \frac{1}{5} + 0.05$

Etapa 7.2.2

Para escrever $0.05$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$c' (- 25) = - \frac{1}{5} + 0.05 \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 7.2.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Combine $0.05$ e $\frac{5}{5}$ .

$c' (- 25) = - \frac{1}{5} + \frac{0.05 \cdot 5}{5}$

Etapa 7.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$c' (- 25) = \frac{- 1 + 0.05 \cdot 5}{5}$

Etapa 7.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.4.1

Multiplique $0.05$ por $5$ .

$c' (- 25) = \frac{- 1 + 0.25}{5}$

Etapa 7.2.4.2

Some $- 1$ e $0.25$ .

$c' (- 25) = \frac{- 0.75}{5}$

Etapa 7.2.5

Divida $- 0.75$ por $5$ .

$c' (- 25) = - 0.15$

Etapa 7.2.6

A resposta final é $- 0.15$ .

$- 0.15$

Etapa 7.3

Em $x = - 25$ , a derivada é $- 0.15$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 50, 0)$ .

Decréscimo em $(- 50, 0)$ , pois $c' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(0, 50)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $25$ na expressão.

$c' (25) = - \frac{125}{{(25)}^{2}} + 0.05$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Eleve $25$ à potência de $2$ .

$c' (25) = - \frac{125}{625} + 0.05$

Etapa 8.2.1.2

Cancele o fator comum de $125$ e $625$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.2.1

Fatore $125$ de $125$ .

$c' (25) = - \frac{125 (1)}{625} + 0.05$

Etapa 8.2.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.2.2.1

Fatore $125$ de $625$ .

$c' (25) = - \frac{125 \cdot 1}{125 \cdot 5} + 0.05$

Etapa 8.2.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$c' (25) = - \frac{125 \cdot 1}{125 \cdot 5} + 0.05$

Etapa 8.2.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$c' (25) = - \frac{1}{5} + 0.05$

Etapa 8.2.2

Para escrever $0.05$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$c' (25) = - \frac{1}{5} + 0.05 \cdot \frac{5}{5}$

Etapa 8.2.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.3.1

Combine $0.05$ e $\frac{5}{5}$ .

$c' (25) = - \frac{1}{5} + \frac{0.05 \cdot 5}{5}$

Etapa 8.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$c' (25) = \frac{- 1 + 0.05 \cdot 5}{5}$

Etapa 8.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.4.1

Multiplique $0.05$ por $5$ .

$c' (25) = \frac{- 1 + 0.25}{5}$

Etapa 8.2.4.2

Some $- 1$ e $0.25$ .

$c' (25) = \frac{- 0.75}{5}$

Etapa 8.2.5

Divida $- 0.75$ por $5$ .

$c' (25) = - 0.15$

Etapa 8.2.6

A resposta final é $- 0.15$ .

$- 0.15$

Etapa 8.3

Em $x = 25$ , a derivada é $- 0.15$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, 50)$ .

Decréscimo em $(0, 50)$ , pois $c' (x) < 0$

Etapa 9

Substitua um valor do intervalo $(50, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $51$ na expressão.

$c' (51) = - \frac{125}{{(51)}^{2}} + 0.05$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Eleve $51$ à potência de $2$ .

$c' (51) = - \frac{125}{2601} + 0.05$

Etapa 9.2.2

Para escrever $0.05$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2601}{2601}$ .

$c' (51) = - \frac{125}{2601} + 0.05 \cdot \frac{2601}{2601}$

Etapa 9.2.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.3.1

Combine $0.05$ e $\frac{2601}{2601}$ .

$c' (51) = - \frac{125}{2601} + \frac{0.05 \cdot 2601}{2601}$

Etapa 9.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$c' (51) = \frac{- 125 + 0.05 \cdot 2601}{2601}$

Etapa 9.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.4.1

Multiplique $0.05$ por $2601$ .

$c' (51) = \frac{- 125 + 130.05}{2601}$

Etapa 9.2.4.2

Some $- 125$ e $130.05$ .

$c' (51) = \frac{5.05}{2601}$

Etapa 9.2.5

Divida $5.05$ por $2601$ .

$c' (51) = 0.00194156$

Etapa 9.2.6

A resposta final é $0.00194156$ .

$0.00194156$

Etapa 9.3

Em $x = 51$ , a derivada é $0.00194156$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(50, \infty)$ .

Acréscimo em $(50, \infty)$ , pois $c' (x) > 0$

Etapa 10

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 50), (50, \infty)$

Decréscimo em: $(- 50, 0), (0, 50)$

Etapa 11