Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 e^{- x} \cos (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{- x} \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{- x}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Etapa 1.1.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 1.1.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

Etapa 1.1.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Etapa 1.1.5

Diferencie.

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Etapa 1.1.5.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

Etapa 1.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

Etapa 1.1.5.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.5.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (e^{- x} \cdot - 1))$

Etapa 1.1.5.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- 1 \cdot e^{- x}))$

Etapa 1.1.5.3.3

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$2 (e^{- x} (- \sin (x)) + \cos (x) (- e^{- x}))$

Etapa 1.1.6

Simplifique.

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Etapa 1.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (e^{- x} (- \sin (x))) + 2 (\cos (x) (- e^{- x}))$

Etapa 1.1.6.2

Combine os termos.

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Etapa 1.1.6.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 (e^{- x} (\sin (x))) + 2 (\cos (x) (- e^{- x}))$

Etapa 1.1.6.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 \cos (x) e^{- x}$

Etapa 1.1.6.3

Reordene os termos.

$f' (x) = - 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$

Etapa 2.2

Fatore $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $2 e^{- x}$ de $- 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $2 e^{- x}$ de $- 2 e^{- x} \sin (x)$ .

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) - 2 e^{- x} \cos (x) = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $2 e^{- x}$ de $- 2 e^{- x} \cos (x)$ .

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) + 2 e^{- x} (- 1 \cos (x)) = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $2 e^{- x}$ de $2 e^{- x} (- 1 \sin (x)) + 2 e^{- x} (- 1 \cos (x))$ .

$2 e^{- x} (- 1 \sin (x) - 1 \cos (x)) = 0$

Etapa 2.2.2

Reescreva $- 1 \sin (x)$ como $- \sin (x)$ .

$2 e^{- x} (- \sin (x) - 1 \cos (x)) = 0$

Etapa 2.2.3

Reescreva $- 1 \cos (x)$ como $- \cos (x)$ .

$2 e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x)) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

Etapa 2.4

Defina $e^{- x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $e^{- x}$ como igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $e^{- x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Etapa 2.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.4.2.3

Não há uma solução para $e^{- x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.5

Defina $- \sin (x) - \cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $- \sin (x) - \cos (x)$ como igual a $0$ .

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $- \sin (x) - \cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 2.5.2.2

Separe as frações.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 2.5.2.3

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 2.5.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 2.5.2.5

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 2.5.2.5.1

Cancele o fator comum.

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 2.5.2.5.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 2.5.2.6

Separe as frações.

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 2.5.2.7

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 2.5.2.8

Divida $0$ por $1$ .

$- \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Etapa 2.5.2.9

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$- \tan (x) - 1 = 0$

Etapa 2.5.2.10

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- \tan (x) = 1$

Etapa 2.5.2.11

Divida cada termo em $- \tan (x) = 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.11.1

Divida cada termo em $- \tan (x) = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 2.5.2.11.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.11.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 2.5.2.11.2.2

Divida $\tan (x)$ por $1$ .

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

Etapa 2.5.2.11.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.11.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$\tan (x) = - 1$

Etapa 2.5.2.12

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Etapa 2.5.2.13

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.13.1

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 2.5.2.14

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Etapa 2.5.2.15

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 2.5.2.15.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Etapa 2.5.2.15.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 2.5.2.16

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 2.5.2.16.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 2.5.2.16.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 2.5.2.16.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 2.5.2.16.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 2.5.2.17

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 2.5.2.17.1

Some $π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Etapa 2.5.2.17.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 2.5.2.17.3

Combine frações.

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Etapa 2.5.2.17.3.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 2.5.2.17.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 2.5.2.17.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.2.17.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 2.5.2.17.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Etapa 2.5.2.17.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 2.5.2.18

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$\frac{3 π}{4} + π n$

Etapa 4

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = - 2 e^{- x} \sin (x) - 2 e^{- x} \cos (x)$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = 2 e^{- x} \cos (x)$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n) \cup (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n) \cup (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{4} + π n - 1$ na expressão.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n - 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Etapa 5.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n - 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Etapa 5.2.2

A resposta final é $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$ .

$- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$

Etapa 5.3

Em $x = \frac{3 π}{4} + π n - 1$ , a derivada é $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n - 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n + 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n - 1)$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ .

Decréscimo em $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{4} + π n + 1$ na expressão.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) - 1 \cdot 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- (\frac{3 π}{4} + π n + 1)} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Etapa 6.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - (π n) - 1 \cdot 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (\frac{3 π}{4} + π n + 1) = - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Etapa 6.2.2

A resposta final é $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$ .

$- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$

Etapa 6.3

Em $x = \frac{3 π}{4} + π n + 1$ , a derivada é $- 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \sin (\frac{3 π}{4} + π n + 1) - 2 e^{- \frac{3 π}{4} - π n - 1} \cos (\frac{3 π}{4} + π n + 1)$ . Por ser negativa, a função diminui em $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ .

Decréscimo em $(\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Decréscimo em: $(- \infty, \frac{3 π}{4} + π n), (\frac{3 π}{4} + π n, \infty)$

Etapa 8