Cálculo Exemplos

$f (x) = - \frac{1}{x^{2} + 2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2} + 2}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 2}] + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2} + 2}$ como ${(x^{2} + 2)}^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 2$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 2$ .

$- (- {(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 ({(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.4.2

Multiplique ${(x^{2} + 2)}^{- 2}$ por $1$ .

${(x^{2} + 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2] + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.4.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

${(x^{2} + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

${(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.4.5

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

${(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x + 0) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.4.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

${(x^{2} + 2)}^{- 2} (2 x) + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.4.6.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(x^{2} + 2)}^{- 2}$ .

$2 \cdot {(x^{2} + 2)}^{- 2} x + \frac{1}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.4.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x + \frac{1}{x^{2} + 2} \cdot 0$

Etapa 1.1.4.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.8.1

Multiplique $\frac{1}{x^{2} + 2}$ por $0$ .

$2 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x + 0$

Etapa 1.1.4.8.2

Some $2 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x$ e $0$ .

$2 {(x^{2} + 2)}^{- 2} x$

Etapa 1.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Etapa 1.1.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{2}} x$

Etapa 1.1.5.2.2

Combine $\frac{2}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x = 0$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0$ .

$0$

Etapa 4

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = \frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = - \frac{1}{x^{2} + 2}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = \frac{2 (- 1)}{{({(- 1)}^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{{({(- 1)}^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{{(1 + 2)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $1$ e $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{3^{2}}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 2}{9}$

Etapa 5.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- 1) = - \frac{2}{9}$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $- \frac{2}{9}$ .

$- \frac{2}{9}$

Etapa 5.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $- \frac{2}{9}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = \frac{2 (1)}{{({(1)}^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (1) = \frac{2}{{(1^{2} + 2)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = \frac{2}{{(1 + 2)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $1$ e $2$ .

$f' (1) = \frac{2}{3^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f' (1) = \frac{2}{9}$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $\frac{2}{9}$ .

$\frac{2}{9}$

Etapa 6.3

Em $x = 1$ , a derivada é $\frac{2}{9}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(0, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, 0)$

Etapa 8