Cálculo Exemplos

$x = \sin (\frac{1}{2} t)$ , $y = \cos (\frac{1}{2} t)$

Etapa 1

Estabeleça a equação paramétrica de $x (t)$ para resolver a equação para $t$ .

$x = \sin (\frac{1}{2} t)$

Etapa 2

Reescreva a equação como $\sin (\frac{1}{2} t) = x$ .

$\sin (\frac{1}{2} t) = x$

Etapa 3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $t$ de dentro do seno.

$\frac{1}{2} t = \arcsin (x)$

Etapa 4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $t$ .

$\frac{t}{2} = \arcsin (x)$

Etapa 5

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{t}{2} = 2 \arcsin (x)$

Etapa 6

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{t}{2} = 2 \arcsin (x)$

Etapa 6.1.2

Reescreva a expressão.

$t = 2 \arcsin (x)$

Etapa 7

Substitua $t$ na equação por $y$ para obter a equação em termos de $x$ .

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$

Etapa 8

Remova os parênteses.

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$

Etapa 9

Simplifique $\cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$ .

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Etapa 9.1

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.1.1.1

Fatore $2$ de $2 \arcsin (x)$ .

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 (\arcsin (x))))$

Etapa 9.1.1.2

Cancele o fator comum.

$y = \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 \arcsin (x)))$

Etapa 9.1.1.3

Reescreva a expressão.

$y = \cos (\arcsin (x))$

Etapa 9.1.2

Escreva a expressão usando expoentes.

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Etapa 9.1.2.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ , $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ e a origem. Então, $\arcsin (x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ . Portanto, $\cos (\arcsin (x))$ é $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$y = \sqrt{1 - x^{2}}$

Etapa 9.1.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \sqrt{1^{2} - x^{2}}$

Etapa 9.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$y = \sqrt{(1 + x) (1 - x)}$