Cálculo Exemplos

$y = \ln (x) \cos (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$\ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$\ln (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{1}{x}$

Etapa 1.4

Combine frações.

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Etapa 1.4.1

Combine $\cos (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$\ln (x) (- \sin (x)) + \frac{\cos (x)}{x}$

Etapa 1.4.2

Reordene os termos.

$f' (x) = - \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- \sin (x) \ln (x) + \frac{\cos (x)}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sin (x) \ln (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \sin (x) \ln (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$- (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

Etapa 2.2.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$- (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

Etapa 2.2.4

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

Etapa 2.2.5

Combine $\sin (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{x}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x$ .

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x)) + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{\sin (x)}{x} - (\ln (x) \cos (x)) + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Para escrever $- \frac{\sin (x)}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.4.2.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.4.2.2.1

Multiplique $\frac{\sin (x)}{x}$ por $\frac{x}{x}$ .

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x \cdot x} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x^{1} x} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.4.2.2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x^{1} x^{1}} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.4.2.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x^{1 + 1}} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.4.2.2.5

Some $1$ e $1$ .

$- \ln (x) \cos (x) - \frac{\sin (x) x}{x^{2}} + \frac{x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \ln (x) \cos (x) + \frac{- \sin (x) x + x (- \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.4.2.4

Reordene $x$ e $- 1$ .

$- \ln (x) \cos (x) + \frac{- x \sin (x) - 1 \cdot x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.4.2.5

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$- \ln (x) \cos (x) + \frac{- x \sin (x) - x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.4.2.6

Subtraia $x \sin (x)$ de $- x \sin (x)$ .

$- \ln (x) \cos (x) + \frac{- 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.4.2.7

Para escrever $- \ln (x) \cos (x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- \ln (x) \cos (x) \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.4.2.8

Combine $- \ln (x) \cos (x)$ e $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{- \ln (x) \cos (x) x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.4.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \ln (x) \cos (x) x^{2} - 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$\frac{- x^{2} \cos (x) \ln (x) - 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.4.4

Fatore $- 1$ de $- x^{2} \cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x)) - 2 x \sin (x) - \cos (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.4.5

Fatore $- 1$ de $- 2 x \sin (x)$ .

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x)) - (2 x \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.4.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} \cos (x) \ln (x)) - (2 x \sin (x))$ .

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x)) - \cos (x)}{x^{2}}$

Etapa 2.4.7

Fatore $- 1$ de $- \cos (x)$ .

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x)) - (\cos (x))}{x^{2}}$

Etapa 2.4.8

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x)) - (\cos (x))$ .

$\frac{- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}}$

Etapa 2.4.9

Reescreva $- (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x))$ como $- 1 (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x))$ .

$\frac{- 1 (x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x))}{x^{2}}$

Etapa 2.4.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} \cos (x) \ln (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x)}{x^{2}}$