Cálculo Exemplos

$f (θ) = 9 \sin (10 \cos (θ))$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $9$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $9 \sin (10 \cos (θ))$ em relação a $θ$ é $9 \frac{d}{d θ} [\sin (10 \cos (θ))]$ .

$9 \frac{d}{d θ} [\sin (10 \cos (θ))]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = \sin (θ)$ e $g (θ) = 10 \cos (θ)$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $10 \cos (θ)$ .

$9 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)])$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$9 (\cos (u) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $10 \cos (θ)$ .

$9 (\cos (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)])$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.3.1

Como $10$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $10 \cos (θ)$ em relação a $θ$ é $10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$9 \cos (10 \cos (θ)) (10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])$

Etapa 1.3.2

Multiplique $10$ por $9$ .

$90 \cos (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Etapa 1.4

A derivada de $\cos (θ)$ em relação a $θ$ é $- \sin (θ)$ .

$90 \cos (10 \cos (θ)) (- \sin (θ))$

Etapa 1.5

Multiplique $- 1$ por $90$ .

$f' (θ) = - 90 \cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $- 90$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $- 90 \cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)$ em relação a $θ$ é $- 90 \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)]$ .

$- 90 \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ)) \sin (θ)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ é $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ , em que $f (θ) = \cos (10 \cos (θ))$ e $g (θ) = \sin (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ))])$

Etapa 2.3

A derivada de $\sin (θ)$ em relação a $θ$ é $\cos (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (10 \cos (θ))])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = \cos (θ)$ e $g (θ) = 10 \cos (θ)$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $10 \cos (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)]))$

Etapa 2.4.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (u) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)]))$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $10 \cos (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [10 \cos (θ)]))$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.5.1

Como $10$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $10 \cos (θ)$ em relação a $θ$ é $10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (10 \cos (θ)) (10 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)])))$

Etapa 2.5.2

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- 10 \sin (10 \cos (θ)) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]))$

Etapa 2.6

A derivada de $\cos (θ)$ em relação a $θ$ é $- \sin (θ)$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (- 10 \sin (10 \cos (θ)) (- \sin (θ))))$

Etapa 2.7

Multiplique $- 1$ por $- 10$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + \sin (θ) (10 \sin (10 \cos (θ)) \sin (θ)))$

Etapa 2.8

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) (\sin^{1} (θ) \sin (θ)))$

Etapa 2.9

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)))$

Etapa 2.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) {\sin (θ)}^{1 + 1})$

Etapa 2.11

Some $1$ e $1$ .

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) + 10 \sin (10 \cos (θ)) \sin^{2} (θ))$

Etapa 2.12

Simplifique.

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Etapa 2.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 90 (\cos (10 \cos (θ)) \cos (θ)) - 90 (10 \sin (10 \cos (θ)) \sin^{2} (θ))$

Etapa 2.12.2

Multiplique $10$ por $- 90$ .

$- 90 \cos (10 \cos (θ)) \cos (θ) - 900 \sin (10 \cos (θ)) \sin^{2} (θ)$

Etapa 2.12.3

Reordene os termos.

$f'' (θ) = - 90 \cos (θ) \cos (10 \cos (θ)) - 900 \sin^{2} (θ) \sin (10 \cos (θ))$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (θ)$ com relação a $θ$ é $- 90 \cos (θ) \cos (10 \cos (θ)) - 900 \sin^{2} (θ) \sin (10 \cos (θ))$ .

$- 90 \cos (θ) \cos (10 \cos (θ)) - 900 \sin^{2} (θ) \sin (10 \cos (θ))$