Cálculo Exemplos

$s = \frac{t^{3} + 7 t^{2} - 8}{t^{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = t^{3} + 7 t^{2} - 8$ e $g (t) = t^{3}$ .

$\frac{t^{3} \frac{d}{d t} [t^{3} + 7 t^{2} - 8] - (t^{3} + 7 t^{2} - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{{(t^{3})}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(t^{3})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{t^{3} \frac{d}{d t} [t^{3} + 7 t^{2} - 8] - (t^{3} + 7 t^{2} - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{3 \cdot 2}}$

Etapa 1.2.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{t^{3} \frac{d}{d t} [t^{3} + 7 t^{2} - 8] - (t^{3} + 7 t^{2} - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Etapa 1.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{3} + 7 t^{2} - 8$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 8]$ .

$\frac{t^{3} (\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 8]) - (t^{3} + 7 t^{2} - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{t^{3} (3 t^{2} + \frac{d}{d t} [7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 8]) - (t^{3} + 7 t^{2} - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Etapa 1.2.4

Como $7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $7 t^{2}$ em relação a $t$ é $7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{t^{3} (3 t^{2} + 7 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 8]) - (t^{3} + 7 t^{2} - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{t^{3} (3 t^{2} + 7 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 8]) - (t^{3} + 7 t^{2} - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Etapa 1.2.6

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{t^{3} (3 t^{2} + 14 t + \frac{d}{d t} [- 8]) - (t^{3} + 7 t^{2} - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Etapa 1.2.7

Como $- 8$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 8$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{t^{3} (3 t^{2} + 14 t + 0) - (t^{3} + 7 t^{2} - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Etapa 1.2.8

Some $3 t^{2} + 14 t$ e $0$ .

$\frac{t^{3} (3 t^{2} + 14 t) - (t^{3} + 7 t^{2} - 8) \frac{d}{d t} [t^{3}]}{t^{6}}$

Etapa 1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{t^{3} (3 t^{2} + 14 t) - (t^{3} + 7 t^{2} - 8) (3 t^{2})}{t^{6}}$

Etapa 1.2.10

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{t^{3} (3 t^{2} + 14 t) - 3 (t^{3} + 7 t^{2} - 8) t^{2}}{t^{6}}$

Etapa 1.2.10.2

Fatore $t^{2}$ de $t^{3} (3 t^{2} + 14 t) - 3 (t^{3} + 7 t^{2} - 8) t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.2.1

Fatore $t^{2}$ de $t^{3} (3 t^{2} + 14 t)$ .

$\frac{t^{2} (t (3 t^{2} + 14 t)) - 3 (t^{3} + 7 t^{2} - 8) t^{2}}{t^{6}}$

Etapa 1.2.10.2.2

Fatore $t^{2}$ de $- 3 (t^{3} + 7 t^{2} - 8) t^{2}$ .

$\frac{t^{2} (t (3 t^{2} + 14 t)) + t^{2} (- 3 (t^{3} + 7 t^{2} - 8))}{t^{6}}$

Etapa 1.2.10.2.3

Fatore $t^{2}$ de $t^{2} (t (3 t^{2} + 14 t)) + t^{2} (- 3 (t^{3} + 7 t^{2} - 8))$ .

$\frac{t^{2} (t (3 t^{2} + 14 t) - 3 (t^{3} + 7 t^{2} - 8))}{t^{6}}$

Etapa 1.3

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $t^{2}$ de $t^{6}$ .

$\frac{t^{2} (t (3 t^{2} + 14 t) - 3 (t^{3} + 7 t^{2} - 8))}{t^{2} t^{4}}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{t^{2} (t (3 t^{2} + 14 t) - 3 (t^{3} + 7 t^{2} - 8))}{t^{2} t^{4}}$

Etapa 1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{t (3 t^{2} + 14 t) - 3 (t^{3} + 7 t^{2} - 8)}{t^{4}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t (3 t^{2}) + t (14 t) - 3 (t^{3} + 7 t^{2} - 8)}{t^{4}}$

Etapa 1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{t (3 t^{2}) + t (14 t) - 3 t^{3} - 3 (7 t^{2}) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Etapa 1.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 t \cdot t^{2} + t (14 t) - 3 t^{3} - 3 (7 t^{2}) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Etapa 1.4.3.1.2

Multiplique $t$ por $t^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.2.1

Mova $t^{2}$ .

$\frac{3 (t^{2} t) + t (14 t) - 3 t^{3} - 3 (7 t^{2}) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Etapa 1.4.3.1.2.2

Multiplique $t^{2}$ por $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.2.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (t^{2} t^{1}) + t (14 t) - 3 t^{3} - 3 (7 t^{2}) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Etapa 1.4.3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 t^{2 + 1} + t (14 t) - 3 t^{3} - 3 (7 t^{2}) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Etapa 1.4.3.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{3 t^{3} + t (14 t) - 3 t^{3} - 3 (7 t^{2}) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Etapa 1.4.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 t^{3} + 14 t \cdot t - 3 t^{3} - 3 (7 t^{2}) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Etapa 1.4.3.1.4

Multiplique $t$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1.4.1

Mova $t$ .

$\frac{3 t^{3} + 14 (t \cdot t) - 3 t^{3} - 3 (7 t^{2}) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Etapa 1.4.3.1.4.2

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{3 t^{3} + 14 t^{2} - 3 t^{3} - 3 (7 t^{2}) - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Etapa 1.4.3.1.5

Multiplique $7$ por $- 3$ .

$\frac{3 t^{3} + 14 t^{2} - 3 t^{3} - 21 t^{2} - 3 \cdot - 8}{t^{4}}$

Etapa 1.4.3.1.6

Multiplique $- 3$ por $- 8$ .

$\frac{3 t^{3} + 14 t^{2} - 3 t^{3} - 21 t^{2} + 24}{t^{4}}$

Etapa 1.4.3.2

Combine os termos opostos em $3 t^{3} + 14 t^{2} - 3 t^{3} - 21 t^{2} + 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1

Subtraia $3 t^{3}$ de $3 t^{3}$ .

$\frac{14 t^{2} + 0 - 21 t^{2} + 24}{t^{4}}$

Etapa 1.4.3.2.2

Some $14 t^{2}$ e $0$ .

$\frac{14 t^{2} - 21 t^{2} + 24}{t^{4}}$

Etapa 1.4.3.3

Subtraia $21 t^{2}$ de $14 t^{2}$ .

$\frac{- 7 t^{2} + 24}{t^{4}}$

Etapa 1.4.4

Fatore $- 1$ de $- 7 t^{2}$ .

$\frac{- (7 t^{2}) + 24}{t^{4}}$

Etapa 1.4.5

Reescreva $24$ como $- 1 (- 24)$ .

$\frac{- (7 t^{2}) - 1 (- 24)}{t^{4}}$

Etapa 1.4.6

Fatore $- 1$ de $- (7 t^{2}) - 1 (- 24)$ .

$\frac{- (7 t^{2} - 24)}{t^{4}}$

Etapa 1.4.7

Reescreva $- (7 t^{2} - 24)$ como $- 1 (7 t^{2} - 24)$ .

$\frac{- 1 (7 t^{2} - 24)}{t^{4}}$

Etapa 1.4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (t) = - \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = - 1$ e $g (t) = \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}}$ .

$- \frac{d}{d t} [\frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}}] + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.2

$- \frac{t^{4} \frac{d}{d t} [7 t^{2} - 24] - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{{(t^{4})}^{2}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique os expoentes em ${(t^{4})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{t^{4} \frac{d}{d t} [7 t^{2} - 24] - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{t^{4 \cdot 2}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$- \frac{t^{4} \frac{d}{d t} [7 t^{2} - 24] - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 t^{2} - 24$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 24]$ .

$- \frac{t^{4} (\frac{d}{d t} [7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 24]) - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.3

Como $7$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $7 t^{2}$ em relação a $t$ é $7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{t^{4} (7 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 24]) - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{t^{4} (7 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 24]) - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.5

Multiplique $2$ por $7$ .

$- \frac{t^{4} (14 t + \frac{d}{d t} [- 24]) - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.6

Como $- 24$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 24$ em relação a $t$ é $0$ .

$- \frac{t^{4} (14 t + 0) - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.3.7

Some $14 t$ e $0$ .

$- \frac{t^{4} (14 t) - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.4

Multiplique $t^{4}$ por $t$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Mova $t$ .

$- \frac{t \cdot t^{4} \cdot 14 - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.4.2

Multiplique $t$ por $t^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$- \frac{t^{1} t^{4} \cdot 14 - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{t^{1 + 4} \cdot 14 - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.4.3

Some $1$ e $4$ .

$- \frac{t^{5} \cdot 14 - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.5

Mova $14$ para a esquerda de $t^{5}$ .

$- \frac{14 \cdot t^{5} - (7 t^{2} - 24) \frac{d}{d t} [t^{4}]}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$- \frac{14 t^{5} - (7 t^{2} - 24) (4 t^{3})}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.7

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- \frac{14 t^{5} - 4 (7 t^{2} - 24) t^{3}}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.8

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1$ em relação a $t$ é $0$ .

$- \frac{14 t^{5} - 4 (7 t^{2} - 24) t^{3}}{t^{8}} + \frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}} \cdot 0$

Etapa 2.9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.9.1

Multiplique $\frac{7 t^{2} - 24}{t^{4}}$ por $0$ .

$- \frac{14 t^{5} - 4 (7 t^{2} - 24) t^{3}}{t^{8}} + 0$

Etapa 2.9.2

Some $- \frac{14 t^{5} - 4 (7 t^{2} - 24) t^{3}}{t^{8}}$ e $0$ .

$- \frac{14 t^{5} - 4 (7 t^{2} - 24) t^{3}}{t^{8}}$

Etapa 2.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{14 t^{5} + (- 4 (7 t^{2}) - 4 \cdot - 24) t^{3}}{t^{8}}$

Etapa 2.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{14 t^{5} - 4 (7 t^{2}) t^{3} - 4 \cdot - 24 t^{3}}{t^{8}}$

Etapa 2.10.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.3.1.1

Multiplique $t^{2}$ por $t^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.3.1.1.1

Mova $t^{3}$ .

$- \frac{14 t^{5} - 4 (7 (t^{3} t^{2})) - 4 \cdot - 24 t^{3}}{t^{8}}$

Etapa 2.10.3.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{14 t^{5} - 4 (7 t^{3 + 2}) - 4 \cdot - 24 t^{3}}{t^{8}}$

Etapa 2.10.3.1.1.3

Some $3$ e $2$ .

$- \frac{14 t^{5} - 4 (7 t^{5}) - 4 \cdot - 24 t^{3}}{t^{8}}$

Etapa 2.10.3.1.2

Multiplique $7$ por $- 4$ .

$- \frac{14 t^{5} - 28 t^{5} - 4 \cdot - 24 t^{3}}{t^{8}}$

Etapa 2.10.3.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 24$ .

$- \frac{14 t^{5} - 28 t^{5} + 96 t^{3}}{t^{8}}$

Etapa 2.10.3.2

Subtraia $28 t^{5}$ de $14 t^{5}$ .

$- \frac{- 14 t^{5} + 96 t^{3}}{t^{8}}$

Etapa 2.10.4

Fatore $2 t^{3}$ de $- 14 t^{5} + 96 t^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.4.1

Fatore $2 t^{3}$ de $- 14 t^{5}$ .

$- \frac{2 t^{3} (- 7 t^{2}) + 96 t^{3}}{t^{8}}$

Etapa 2.10.4.2

Fatore $2 t^{3}$ de $96 t^{3}$ .

$- \frac{2 t^{3} (- 7 t^{2}) + 2 t^{3} (48)}{t^{8}}$

Etapa 2.10.4.3

Fatore $2 t^{3}$ de $2 t^{3} (- 7 t^{2}) + 2 t^{3} (48)$ .

$- \frac{2 t^{3} (- 7 t^{2} + 48)}{t^{8}}$

Etapa 2.10.5

Cancele o fator comum de $t^{3}$ e $t^{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.5.1

Fatore $t^{3}$ de $2 t^{3} (- 7 t^{2} + 48)$ .

$- \frac{t^{3} (2 (- 7 t^{2} + 48))}{t^{8}}$

Etapa 2.10.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.5.2.1

Fatore $t^{3}$ de $t^{8}$ .

$- \frac{t^{3} (2 (- 7 t^{2} + 48))}{t^{3} t^{5}}$

Etapa 2.10.5.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{t^{3} (2 (- 7 t^{2} + 48))}{t^{3} t^{5}}$

Etapa 2.10.5.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{2 (- 7 t^{2} + 48)}{t^{5}}$

Etapa 2.10.6

Fatore $- 1$ de $- 7 t^{2}$ .

$- \frac{2 (- (7 t^{2}) + 48)}{t^{5}}$

Etapa 2.10.7

Reescreva $48$ como $- 1 (- 48)$ .

$- \frac{2 (- (7 t^{2}) - 1 (- 48))}{t^{5}}$

Etapa 2.10.8

Fatore $- 1$ de $- (7 t^{2}) - 1 (- 48)$ .

$- \frac{2 (- (7 t^{2} - 48))}{t^{5}}$

Etapa 2.10.9

Reescreva $- (7 t^{2} - 48)$ como $- 1 (7 t^{2} - 48)$ .

$- \frac{2 (- 1 (7 t^{2} - 48))}{t^{5}}$

Etapa 2.10.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{2 (7 t^{2} - 48)}{t^{5}}$

Etapa 2.10.11

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{2 (7 t^{2} - 48)}{t^{5}}$

Etapa 2.10.12

Multiplique $\frac{2 (7 t^{2} - 48)}{t^{5}}$ por $1$ .

$f'' (t) = \frac{2 (7 t^{2} - 48)}{t^{5}}$