Cálculo Exemplos

$y = \csc (2 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\csc (u)$ em relação a $u$ é $- \csc (u) \cot (u)$ .

$- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc (2 x) \cot (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x) \cdot 1$

Etapa 1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.4.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$

Etapa 1.2.4.2

Reordene os fatores de $- 2 \csc (2 x) \cot (2 x)$ .

$f' (x) = - 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \cot (2 x) \csc (2 x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\cot (2 x) \csc (2 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cot (2 x) \csc (2 x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cot (2 x)$ e $g (x) = \csc (2 x)$ .

$- 2 (\cot (2 x) \frac{d}{d x} [\csc (2 x)] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$- 2 (\cot (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\csc (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- 2 (\cot (2 x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$- 2 (\cot (2 x) (- \csc (2 x) \cot (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Etapa 2.4

Eleve $\cot (2 x)$ à potência de $1$ .

$- 2 (- \csc (2 x) (\cot^{1} (2 x) \cot (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Etapa 2.5

Eleve $\cot (2 x)$ à potência de $1$ .

$- 2 (- \csc (2 x) (\cot^{1} (2 x) \cot^{1} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 (- \csc (2 x) {\cot (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Etapa 2.7

Diferencie.

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Etapa 2.7.1

Some $1$ e $1$ .

$- 2 (- \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Etapa 2.7.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (- \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Etapa 2.7.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Etapa 2.7.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) \cdot 1 + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Etapa 2.7.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) + \csc (2 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)])$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) + \csc (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 2.8.2

A derivada de $\cot (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) + \csc (2 x) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 2.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) + \csc (2 x) (- \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]))$

Etapa 2.9

Eleve $\csc (2 x)$ à potência de $1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - (\csc^{1} (2 x) \csc^{2} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - {\csc (2 x)}^{1 + 2} \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.11

Some $1$ e $2$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - \csc^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Etapa 2.12

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - \csc^{3} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 2.13

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - 2 \csc^{3} (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - 2 \csc^{3} (2 x) \cdot 1)$

Etapa 2.15

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) - 2 \csc^{3} (2 x))$

Etapa 2.16

Simplifique.

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Etapa 2.16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 (- 2 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x)) - 2 (- 2 \csc^{3} (2 x))$

Etapa 2.16.2

Combine os termos.

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Etapa 2.16.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$4 (\csc (2 x) \cot^{2} (2 x)) - 2 (- 2 \csc^{3} (2 x))$

Etapa 2.16.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$4 \csc (2 x) \cot^{2} (2 x) + 4 \csc^{3} (2 x)$

Etapa 2.16.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = 4 \cot^{2} (2 x) \csc (2 x) + 4 \csc^{3} (2 x)$