Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{2 x - 3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x - 3}$ como ${(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 x - 3$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x - 3$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 1.7

Combine frações.

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Etapa 1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 1.7.3

Mova ${(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 1.9

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 1.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 1.11

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 1.12

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0)$

Etapa 1.13

Simplifique os termos.

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Etapa 1.13.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2$

Etapa 1.13.2

Combine $\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ e $2$ .

$\frac{2}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13.3

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.13.4

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{1}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1.1

Reescreva $\frac{1}{{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Etapa 2.1.2

Multiplique os expoentes em ${({(2 x - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Etapa 2.1.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Etapa 2.1.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d}{d x} [{(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 x - 3$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x - 3$ .

$- \frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 2.6.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 2.7

Combine frações.

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Etapa 2.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{2} {(2 x - 3)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 2.7.2

Combine ${(2 x - 3)}^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(2 x - 3)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 2.7.3

Mova ${(2 x - 3)}^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- \frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 2.9

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 2.11

Multiplique $2$ por $1$ .

$- \frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}} (2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 2.12

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}} (2 + 0)$

Etapa 2.13

Simplifique os termos.

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Etapa 2.13.1

Some $2$ e $0$ .

$- \frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 2$

Etapa 2.13.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.13.3

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.13.4

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.14

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.14.1

Fatore $2$ de $2 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 ({(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 2.14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 {(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{{(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{1}{{(2 x - 3)}^{\frac{3}{2}}}$