Cálculo Exemplos

$y = \frac{3 x^{5} - 7 x^{2 - 4}}{x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $4$ de $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{5} - 7 x^{- 2}}{x^{2}}]$

Etapa 1.2

Fatore $x^{- 2}$ de $3 x^{5} - 7 x^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $x^{- 2}$ de $3 x^{5}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{- 2} (3 x^{7}) - 7 x^{- 2}}{x^{2}}]$

Etapa 1.2.2

Fatore $x^{- 2}$ de $- 7 x^{- 2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{- 2} (3 x^{7}) + x^{- 2} \cdot - 7}{x^{2}}]$

Etapa 1.2.3

Fatore $x^{- 2}$ de $x^{- 2} (3 x^{7}) + x^{- 2} \cdot - 7$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{- 2} (3 x^{7} - 7)}{x^{2}}]$

Etapa 1.3

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{7} - 7}{x^{2} x^{2}}]$

Etapa 1.4

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{7} - 7}{x^{2 + 2}}]$

Etapa 1.4.2

Some $2$ e $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{7} - 7}{x^{4}}]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 3 x^{7} - 7$ e $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7] - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 1.6

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7] - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Etapa 1.6.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [3 x^{7} - 7] - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 1.6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{7} - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [3 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 1.6.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{7}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{x^{4} (3 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 1.6.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$\frac{x^{4} (3 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 1.6.5

Multiplique $7$ por $3$ .

$\frac{x^{4} (21 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 1.6.6

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{4} (21 x^{6} + 0) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 1.6.7

Some $21 x^{6}$ e $0$ .

$\frac{x^{4} (21 x^{6}) - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 1.7

Multiplique $x^{4}$ por $x^{6}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Mova $x^{6}$ .

$\frac{x^{6} x^{4} \cdot 21 - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 1.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{6 + 4} \cdot 21 - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 1.7.3

Some $6$ e $4$ .

$\frac{x^{10} \cdot 21 - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 1.8

Mova $21$ para a esquerda de $x^{10}$ .

$\frac{21 \cdot x^{10} - (3 x^{7} - 7) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{21 x^{10} - (3 x^{7} - 7) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 1.10

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{21 x^{10} - 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}}{x^{8}}$

Etapa 1.10.2

Fatore $x^{3}$ de $21 x^{10} - 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.2.1

Fatore $x^{3}$ de $21 x^{10}$ .

$\frac{x^{3} (21 x^{7}) - 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}}{x^{8}}$

Etapa 1.10.2.2

Fatore $x^{3}$ de $- 4 (3 x^{7} - 7) x^{3}$ .

$\frac{x^{3} (21 x^{7}) + x^{3} (- 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{8}}$

Etapa 1.10.2.3

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} (21 x^{7}) + x^{3} (- 4 (3 x^{7} - 7))$ .

$\frac{x^{3} (21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{8}}$

Etapa 1.11

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.11.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{3} x^{5}}$

Etapa 1.11.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} (21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7))}{x^{3} x^{5}}$

Etapa 1.11.3

Reescreva a expressão.

$\frac{21 x^{7} - 4 (3 x^{7} - 7)}{x^{5}}$

Etapa 1.12

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{21 x^{7} - 4 (3 x^{7}) - 4 \cdot - 7}{x^{5}}$

Etapa 1.12.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.12.2.1.1

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$\frac{21 x^{7} - 12 x^{7} - 4 \cdot - 7}{x^{5}}$

Etapa 1.12.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $- 7$ .

$\frac{21 x^{7} - 12 x^{7} + 28}{x^{5}}$

Etapa 1.12.2.2

Subtraia $12 x^{7}$ de $21 x^{7}$ .

$f' (x) = \frac{9 x^{7} + 28}{x^{5}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [9 x^{7} + 28] - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [9 x^{7} + 28] - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [9 x^{7} + 28] - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{7} + 28$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{7}] + \frac{d}{d x} [28]$ .

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d x} [9 x^{7}] + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.2.3

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{7}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{x^{5} (9 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$\frac{x^{5} (9 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.2.5

Multiplique $7$ por $9$ .

$\frac{x^{5} (63 x^{6} + \frac{d}{d x} [28]) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.2.6

Como $28$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $28$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{5} (63 x^{6} + 0) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.2.7

Some $63 x^{6}$ e $0$ .

$\frac{x^{5} (63 x^{6}) - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.3

Multiplique $x^{5}$ por $x^{6}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Mova $x^{6}$ .

$\frac{x^{6} x^{5} \cdot 63 - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{6 + 5} \cdot 63 - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.3.3

Some $6$ e $5$ .

$\frac{x^{11} \cdot 63 - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.4

Mova $63$ para a esquerda de $x^{11}$ .

$\frac{63 \cdot x^{11} - (9 x^{7} + 28) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{63 x^{11} - (9 x^{7} + 28) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Etapa 2.6

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{63 x^{11} - 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}}{x^{10}}$

Etapa 2.6.2

Fatore $x^{4}$ de $63 x^{11} - 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

Fatore $x^{4}$ de $63 x^{11}$ .

$\frac{x^{4} (63 x^{7}) - 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}}{x^{10}}$

Etapa 2.6.2.2

Fatore $x^{4}$ de $- 5 (9 x^{7} + 28) x^{4}$ .

$\frac{x^{4} (63 x^{7}) + x^{4} (- 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{10}}$

Etapa 2.6.2.3

Fatore $x^{4}$ de $x^{4} (63 x^{7}) + x^{4} (- 5 (9 x^{7} + 28))$ .

$\frac{x^{4} (63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{10}}$

Etapa 2.7

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Fatore $x^{4}$ de $x^{10}$ .

$\frac{x^{4} (63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{4} x^{6}}$

Etapa 2.7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{4} (63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28))}{x^{4} x^{6}}$

Etapa 2.7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{63 x^{7} - 5 (9 x^{7} + 28)}{x^{6}}$

Etapa 2.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{63 x^{7} - 5 (9 x^{7}) - 5 \cdot 28}{x^{6}}$

Etapa 2.8.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1.1

Multiplique $9$ por $- 5$ .

$\frac{63 x^{7} - 45 x^{7} - 5 \cdot 28}{x^{6}}$

Etapa 2.8.2.1.2

Multiplique $- 5$ por $28$ .

$\frac{63 x^{7} - 45 x^{7} - 140}{x^{6}}$

Etapa 2.8.2.2

Subtraia $45 x^{7}$ de $63 x^{7}$ .

$\frac{18 x^{7} - 140}{x^{6}}$

Etapa 2.8.3

Fatore $2$ de $18 x^{7} - 140$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.3.1

Fatore $2$ de $18 x^{7}$ .

$\frac{2 (9 x^{7}) - 140}{x^{6}}$

Etapa 2.8.3.2

Fatore $2$ de $- 140$ .

$\frac{2 (9 x^{7}) + 2 (- 70)}{x^{6}}$

Etapa 2.8.3.3

Fatore $2$ de $2 (9 x^{7}) + 2 (- 70)$ .

$f'' (x) = \frac{2 (9 x^{7} - 70)}{x^{6}}$