Cálculo Exemplos

$f (θ) = 2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \cos (θ) + \cos^{2} (θ)$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $2 \cos (θ)$ em relação a $θ$ é $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\cos (θ)$ em relação a $θ$ é $- \sin (θ)$ .

$2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d θ} [\cos^{2} (θ)]$ .

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = θ^{2}$ e $g (θ) = \cos (θ)$ .

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Etapa 1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Etapa 1.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Etapa 1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\cos (θ)$ em relação a $θ$ é $- \sin (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \cos (θ) (- \sin (θ))$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (θ) - 2 \cos (θ) \sin (θ)$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$f' (θ) = - 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d θ} [- 2 \cos (θ) \sin (θ)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $- 2 \cos (θ) \sin (θ)$ em relação a $θ$ é $- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)]$ .

$- 2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ) \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ é $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ , em que $f (θ) = \cos (θ)$ e $g (θ) = \sin (θ)$ .

$- 2 (\cos (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Etapa 2.2.3

A derivada de $\sin (θ)$ em relação a $θ$ é $\cos (θ)$ .

$- 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Etapa 2.2.4

A derivada de $\cos (θ)$ em relação a $θ$ é $- \sin (θ)$ .

$- 2 (\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Etapa 2.2.5

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Etapa 2.2.6

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$- 2 (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Etapa 2.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 ({\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Etapa 2.2.8

Some $1$ e $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Etapa 2.2.9

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Etapa 2.2.10

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ))) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Etapa 2.2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2 (\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Etapa 2.2.12

Some $1$ e $1$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) + \frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d θ} [- 2 \sin (θ)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $- 2 \sin (θ)$ em relação a $θ$ é $- 2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\sin (θ)$ em relação a $θ$ é $\cos (θ)$ .

$- 2 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 \cos^{2} (θ) - 2 (- \sin^{2} (θ)) - 2 \cos (θ)$

Etapa 2.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (θ) = - 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$

Etapa 3

A segunda derivada de $f (θ)$ com relação a $θ$ é $- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$ .

$- 2 \cos^{2} (θ) + 2 \sin^{2} (θ) - 2 \cos (θ)$