Cálculo Exemplos

$y = \sin (x) + \tan (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) + \tan (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Etapa 1.3

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) + \sec^{2} (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\cos (x) + \sec^{2} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Etapa 2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sec (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \sin (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (x)$ .

$- \sin (x) + 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$- \sin (x) + 2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x))$

Etapa 2.3.3

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$- \sin (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

Etapa 2.3.4

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$- \sin (x) + 2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

Etapa 2.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \sin (x) + 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

Etapa 2.3.6

Some $1$ e $1$ .

$- \sin (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reordene os termos.

$2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$

Etapa 2.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.2.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) - \sin (x)$

Etapa 2.4.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Etapa 2.4.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Etapa 2.4.2.4

Combine $2$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Etapa 2.4.2.5

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x)$

Etapa 2.4.2.6

Combine.

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} - \sin (x)$

Etapa 2.4.2.7

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.2.7.1

Multiplique $\cos^{2} (x)$ por $\cos (x)$ .

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Etapa 2.4.2.7.1.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} - \sin (x)$

Etapa 2.4.2.7.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} - \sin (x)$

Etapa 2.4.2.7.2

Some $2$ e $1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} - \sin (x)$

Etapa 2.4.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.3.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} - \sin (x)$

Etapa 2.4.3.2

Separe as frações.

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x)$

Etapa 2.4.3.3

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Etapa 2.4.3.4

Multiplique por $1$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (x) \cdot 1} \tan (x) - \sin (x)$

Etapa 2.4.3.5

Separe as frações.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) - \sin (x)$

Etapa 2.4.3.6

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ em $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{2}{1} \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$

Etapa 2.4.3.7

Divida $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$