Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{4} \cot (2 x + 3)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{4} \cdot \cot (2 x + 3)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\cot (2 x + 3)]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\cot (2 x + 3)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = 2 x + 3$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + 3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\cot (u)$ em relação a $u$ é $- \csc^{2} (u)$ .

$\frac{1}{4} (- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 3$ .

$\frac{1}{4} (- \csc^{2} (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $\csc^{2} (2 x + 3)$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x + 3)}{4} \frac{d}{d x} [2 x + 3]$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x + 3)}{4} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 1.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x + 3)}{4} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x + 3)}{4} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 1.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x + 3)}{4} (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 1.3.6

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x + 3)}{4} (2 + 0)$

Etapa 1.3.7

Simplifique os termos.

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Etapa 1.3.7.1

Some $2$ e $0$ .

$- \frac{\csc^{2} (2 x + 3)}{4} \cdot 2$

Etapa 1.3.7.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \frac{\csc^{2} (2 x + 3)}{4}$

Etapa 1.3.7.3

Combine $- 2$ e $\frac{\csc^{2} (2 x + 3)}{4}$ .

$\frac{- 2 \csc^{2} (2 x + 3)}{4}$

Etapa 1.3.7.4

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

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Etapa 1.3.7.4.1

Fatore $2$ de $- 2 \csc^{2} (2 x + 3)$ .

$\frac{2 (- \csc^{2} (2 x + 3))}{4}$

Etapa 1.3.7.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.7.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 (- \csc^{2} (2 x + 3))}{2 (2)}$

Etapa 1.3.7.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- \csc^{2} (2 x + 3))}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.3.7.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- \csc^{2} (2 x + 3)}{2}$

Etapa 1.3.7.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{\csc^{2} (2 x + 3)}{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{\csc^{2} (2 x + 3)}{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\csc^{2} (2 x + 3)]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\csc^{2} (2 x + 3)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \csc (2 x + 3)$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\csc (2 x + 3)$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (2 x + 3)])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{1}{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (2 x + 3)])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\csc (2 x + 3)$ .

$- \frac{1}{2} (2 \csc (2 x + 3) \frac{d}{d x} [\csc (2 x + 3)])$

Etapa 2.3

Simplifique os termos.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) (\csc (2 x + 3) \frac{d}{d x} [\csc (2 x + 3)])$

Etapa 2.3.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} (\csc (2 x + 3) \frac{d}{d x} [\csc (2 x + 3)])$

Etapa 2.3.3

Combine $\csc (2 x + 3)$ e $\frac{- 2}{2}$ .

$\frac{\csc (2 x + 3) \cdot - 2}{2} \frac{d}{d x} [\csc (2 x + 3)]$

Etapa 2.3.4

Mova $- 2$ para a esquerda de $\csc (2 x + 3)$ .

$\frac{- 2 \cdot \csc (2 x + 3)}{2} \frac{d}{d x} [\csc (2 x + 3)]$

Etapa 2.3.5

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 2.3.5.1

Fatore $2$ de $- 2 \csc (2 x + 3)$ .

$\frac{2 (- \csc (2 x + 3))}{2} \frac{d}{d x} [\csc (2 x + 3)]$

Etapa 2.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- \csc (2 x + 3))}{2 (1)} \frac{d}{d x} [\csc (2 x + 3)]$

Etapa 2.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- \csc (2 x + 3))}{2 \cdot 1} \frac{d}{d x} [\csc (2 x + 3)]$

Etapa 2.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- \csc (2 x + 3)}{1} \frac{d}{d x} [\csc (2 x + 3)]$

Etapa 2.3.5.2.4

Divida $- \csc (2 x + 3)$ por $1$ .

$- \csc (2 x + 3) \frac{d}{d x} [\csc (2 x + 3)]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = 2 x + 3$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x + 3$ .

$- \csc (2 x + 3) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Etapa 2.4.2

A derivada de $\csc (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$- \csc (2 x + 3) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x + 3$ .

$- \csc (2 x + 3) (- \csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Etapa 2.5

Multiplique.

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Etapa 2.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \csc (2 x + 3) (\csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Etapa 2.5.2

Multiplique $\csc (2 x + 3)$ por $1$ .

$\csc (2 x + 3) (\csc (2 x + 3) \cot (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Etapa 2.6

Eleve $\csc (2 x + 3)$ à potência de $1$ .

$\csc^{1} (2 x + 3) \csc (2 x + 3) (\cot (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Etapa 2.7

Eleve $\csc (2 x + 3)$ à potência de $1$ .

$\csc^{1} (2 x + 3) \csc^{1} (2 x + 3) (\cot (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Etapa 2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${\csc (2 x + 3)}^{1 + 1} (\cot (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Etapa 2.9

Some $1$ e $1$ .

$\csc^{2} (2 x + 3) (\cot (2 x + 3) \frac{d}{d x} [2 x + 3])$

Etapa 2.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\csc^{2} (2 x + 3) \cot (2 x + 3) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 2.11

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\csc^{2} (2 x + 3) \cot (2 x + 3) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 2.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\csc^{2} (2 x + 3) \cot (2 x + 3) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 2.13

Multiplique $2$ por $1$ .

$\csc^{2} (2 x + 3) \cot (2 x + 3) (2 + \frac{d}{d x} [3])$

Etapa 2.14

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\csc^{2} (2 x + 3) \cot (2 x + 3) (2 + 0)$

Etapa 2.15

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.15.1

Some $2$ e $0$ .

$\csc^{2} (2 x + 3) \cot (2 x + 3) \cdot 2$

Etapa 2.15.2

Mova $2$ para a esquerda de $\csc^{2} (2 x + 3) \cot (2 x + 3)$ .

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (2 x + 3) \cot (2 x + 3)$